Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
  • Forma da solução geral;
  • Esboço do retrato de fase;
  • Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
  • Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando t +infty.
    (b) lu1^prime=-2 u2+u1, u2^prime=u1+u2

Passo 1

O sistema é linear homogêneo de ordem 2 com matriz de coeficientes
A=1 & -21 & 1
Precisamos resolver a equação u'=Au, traçar o retrato de fase, classificar o ponto crítico e analisar o comportamento das soluções quando tto+infty.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2+2=0
Logo
lambda=1pm iraiz2
Como as partes reais são positivas, esperamos um foco (ou espiral) instável.

Passo 3

Encontramos um autovetor para lambda=1+iraiz2. Resolvendo
(A-lambda I)v=0
podemos tomar
v=-iraiz21
Suas partes real e imaginária são
vr=01, vi=-raiz20

Passo 4

Da teoria de sistemas lineares com autovalores complexos, a solução geral real é
u(t)=C1e^tl(vrcos(raiz2t)-visin(raiz2t)r) + C2e^tl(vrsin(raiz2t)+vicos(raiz2t)r)
Explicitando as componentes,
u(t)=e^traiz2C1sin(raiz2t)-raiz2C2cos(raiz2t)C1cos(raiz2t)+C2sin(raiz2t)

Passo 5

No plano (u1,u2), como Relambda>0 e há parte imaginária não nula, o retrato de fase é uma espiral que se afasta da origem (foco espiralado instável).

Passo 6

Como cada modo fundamental tem fator e^t multiplicando funções seno e cosseno, ambas as componentes crescem sem limite em módulo e oscilam. Logo não há limite finito quando tto+infty.

Resposta

Forma geral: \n(u(t)=e^t[ C_1(v_r\cos(\sqrt2t)-v_i\sin(\sqrt2t))+C_2(v_r\sin(\sqrt2t)+v_i\cos(\sqrt2t)) ]\
com \n(v_r=(0,1)T,;v_i=(-\sqrt2,0)T).\
Retrato de fase: espiral saindo da origem (foco instável).\
Classificação: foco (espiral) instável.\
Comportamento tto+infty: componentes crescem como e^t, oscilando, sem limite finito.

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