Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
- Forma da solução geral;
- Esboço do retrato de fase;
- Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
- Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando
.
(b)
(b)
Passo 1
O sistema é linear homogêneo de ordem 2 com matriz de coeficientes
Precisamos resolver a equação
, traçar o retrato de fase, classificar o ponto crítico e analisar o comportamento das soluções quando
.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo
Como as partes reais são positivas, esperamos um foco (ou espiral) instável.
Passo 3
Encontramos um autovetor para
. Resolvendo
podemos tomar
Suas partes real e imaginária são
Passo 4
Da teoria de sistemas lineares com autovalores complexos, a solução geral real é
Explicitando as componentes,
Passo 5
No plano
, como
e há parte imaginária não nula, o retrato de fase é uma espiral que se afasta da origem (foco espiralado instável).
Passo 6
Como cada modo fundamental tem fator
multiplicando funções seno e cosseno, ambas as componentes crescem sem limite em módulo e oscilam. Logo não há limite finito quando
.
Resposta
Forma geral: \n(u(t)=e^t[ C_1(v_r\cos(\sqrt2t)-v_i\sin(\sqrt2t))+C_2(v_r\sin(\sqrt2t)+v_i\cos(\sqrt2t)) ]\
com \n(v_r=(0,1)T,;v_i=(-\sqrt2,0)T).\
Retrato de fase: espiral saindo da origem (foco instável).\
Classificação: foco (espiral) instável.\
Comportamento : componentes crescem como
, oscilando, sem limite finito.
com \n(v_r=(0,1)T,;v_i=(-\sqrt2,0)T).\
Retrato de fase: espiral saindo da origem (foco instável).\
Classificação: foco (espiral) instável.\
Comportamento