Considere os sistemas de equações diferenciais a seguir. Em cada caso, determine as soluções. A solução deve ser dada em termos de furiçōes reais.
Resolva o seguinte sistema com condição inicial:
Da primeira equação 3w_{1}+3w_{2}=0 segue w_{1}=-w_{2}. Tomando w_{2}=1 obtemos
v^{(2)}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix}.]
Passo 6
Como \lambda_{1} e \lambda_{2} são reais e distintos, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais associadas aos autovetores:
onde c_{1} e c_{2} são constantes a determinar pela condição inicial. Aqui c_{1} e c_{2} são escalares escolhidos para satisfazer X(0).]
Passo 7
Imponho X(0)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix}\). Avaliando em \(t=0\) dá
\[c_{1}\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Posso conferir rapidamente que em t=0 isso dá x_{1}(0)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}=1 e x_{2}(0)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=0, como exigido. Boa! Você já tem a resposta explícita pronta para usar na prova.]