Considere os sistemas de equações diferenciais a seguir. Em cada caso, determine as soluções. A solução deve ser dada em termos de furiçōes reais.
Resolva o seguinte sistema:
Resolva o seguinte sistema:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de duas equações diferenciais de coeficientes constantes e pede que determinemos as soluções em termos de funções reais:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é achar todas as soluções
reais do sistema, isto é, a solução geral em termos de funções reais (exponenciais, cosseno e seno se necessário).]
Passo 2
Vamos procurar autovalores (eigenvalues) de
calculando o polinômio característico
. Escrevendo:
o determinante é
Agora expandimos passo a passo:
Somando
(que veio de
) obtemos o polinômio característico:
Passo 3
Resolvemos a equação característica
Usando a fórmula quadrática,
Logo os autovalores são complexos conjugados
e
.
Passo 4
Com autovalores complexos, procuramos um autovetor complexo para
. Resolvemos
. Já temos
Da primeira linha, a equação para
é
Isolando
:
Escolhemos
(poderíamos escolher qualquer múltiplo não nulo), assim um autovetor é
Passo 5
Agora a parte didática importante: quando temos um autovalor complexo
com autovetor
(onde
são vetores reais), as duas soluções reais fundamentais do sistema são
Justificativa curta e intuitiva: a solução complexa
gera uma solução complexa; separar parte real e imaginária dá duas soluções reais linearmente independentes, que envolvem
e
.
Passo 6
Aplicamos a fórmula ao nosso caso. Aqui
,
e
portanto
Calculamos as duas soluções reais fundamentais:
Primeira solução:
Componentes:
Segunda solução:
Componentes:
Essas duas são linearmente independentes (são obtidas a partir da parte real e imaginária da solução complexa), logo formam uma base de soluções reais para o sistema.]
Passo 7
A solução geral do sistema é a combinação linear dessas duas soluções fundamentais com constantes reais
:
Explicitando:
com
. Se você tiver condições iniciais
, dá para encontrar
e
resolvendo um sistema linear 2×2 (posso mostrar se quiser).]