Considere os sistemas de equações diferenciais a seguir. Em cada caso, determine as soluções. A solução deve ser dada em termos de furiçōes reais.
Resolva o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=-3 x_{1}(t)+2 x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=-4 x_{1}(t)+x_{2}(t) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de duas equações diferenciais de coeficientes constantes e pede que determinemos as soluções em termos de funções reais:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=-3 x_{1}(t)+2 x_{2}(t)\\[4pt] x_{2}^{\prime}(t)=-4 x_{1}(t)+x_{2}(t) \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Matriz do sistema: }\;A=\begin{pmatrix}-3 & 2\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
A tarefa é achar todas as soluções x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} reais do sistema, isto é, a solução geral em termos de funções reais (exponenciais, cosseno e seno se necessário).]

Passo 2

Vamos procurar autovalores (eigenvalues) de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevendo:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-3-\lambda & 2\\[4pt]-4 & 1-\lambda\end{pmatrix}
o determinante é
\det(A-\lambda I)=(-3-\lambda)(1-\lambda)-2(-4).
Agora expandimos passo a passo:
(-3-\lambda)(1-\lambda) = (-3)(1)+(-3)(-\lambda)+(-\lambda)(1)+(-\lambda)(-\lambda)= -3+3\lambda-\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}+2\lambda-3.
Somando +8 (que veio de -2(-4)) obtemos o polinômio característico:
\lambda^{2}+2\lambda-3+8=\lambda^{2}+2\lambda+5.]

Passo 3

Resolvemos a equação característica
\lambda^{2}+2\lambda+5=0.
Usando a fórmula quadrática,
\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
Logo os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=-1+2i e \lambda_{2}=-1-2i.

Passo 4

Com autovalores complexos, procuramos um autovetor complexo para \lambda_{1}=-1+2i. Resolvemos (A-\lambda_{1}I)v=0. Já temos
A-\lambda_{1}I=\begin{pmatrix}-3-(-1+2i) & 2\\[4pt]-4 & 1-(-1+2i)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-2i & 2\\[4pt]-4 & 2-2i\end{pmatrix}.
Da primeira linha, a equação para v=(v_{1},v_{2})^{T} é
(-2-2i)v_{1}+2v_{2}=0.
Isolando v_{2}:
v_{2}=\frac{2+2i}{2}v_{1}=(1+i)v_{1}.
Escolhemos v_{1}=1 (poderíamos escolher qualquer múltiplo não nulo), assim um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1+i\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a parte didática importante: quando temos um autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor v=p+iq (onde p,q são vetores reais), as duas soluções reais fundamentais do sistema são
e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big) \qquad\text{e}\qquad e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big).
Justificativa curta e intuitiva: a solução complexa e^{\lambda t}v=e^{\alpha t}e^{i\beta t}(p+iq) gera uma solução complexa; separar parte real e imaginária dá duas soluções reais linearmente independentes, que envolvem e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t).

Passo 6

Aplicamos a fórmula ao nosso caso. Aqui \alpha=-1, \beta=2 e
v=p+iq=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1+i\end{pmatrix},
portanto
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculamos as duas soluções reais fundamentais:
Primeira solução:
\phi_{1}(t)=e^{-t}\big(p\cos(2t)-q\sin(2t)\big).
Componentes:
\phi_{1}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}1\cdot\cos(2t)-0\cdot\sin(2t)\\[6pt]1\cdot\cos(2t)-1\cdot\sin(2t)\end{pmatrix} = e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\cos(2t)-\sin(2t)\end{pmatrix}.
Segunda solução:
\phi_{2}(t)=e^{-t}\big(p\sin(2t)+q\cos(2t)\big).
Componentes:
\phi_{2}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}1\cdot\sin(2t)+0\cdot\cos(2t)\\[6pt]1\cdot\sin(2t)+1\cdot\cos(2t)\end{pmatrix} = e^{-t}\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[6pt]\sin(2t)+\cos(2t)\end{pmatrix}.
Essas duas são linearmente independentes (são obtidas a partir da parte real e imaginária da solução complexa), logo formam uma base de soluções reais para o sistema.]

Passo 7

A solução geral do sistema é a combinação linear dessas duas soluções fundamentais com constantes reais C_{1},C_{2}:
x(t)=C_{1}\,\phi_{1}(t)+C_{2}\,\phi_{2}(t).
Explicitando:
x(t)=C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\cos(2t)-\sin(2t)\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[6pt]\sin(2t)+\cos(2t)\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Se você tiver condições iniciais \,x(0), dá para encontrar C_{1} e C_{2} resolvendo um sistema linear 2×2 (posso mostrar se quiser).]

Resposta

x(t)=C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\cos(2t)-\sin(2t)\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}\sin(2t)\\[6pt]\sin(2t)+\cos(2t)\end{pmatrix},\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

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