(4,0) Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
C (b) y^{(4)}(t)-5 y^{\prime \prime}(t)+4 y(t)=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{(3)}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^{(4)}(t)-5\,y^{\prime\prime}(t)+4\,y(t)=0,
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=0.
Devemos obter a solução y(t) no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a fórmula da transformada de Laplace para derivadas. Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Aqui cada s^{k}y^{(m)}(0) vem da aplicação sucessiva da integração por partes na definição da transformada. Agora aplicamos essa fórmula aos termos da EDO.

Passo 3

Calculemos as transformadas dos termos usando as condições iniciais dadas:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)=s^{4}Y(s)-s^{3},
pois y(0)=1 e as outras derivadas iniciais são zero.
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s.
E \mathcal{L}\{y\}=Y(s). Agora aplicamos a transformada na EDO inteira.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO obtemos
\big(s^{4}Y(s)-s^{3}\big)-5\big(s^{2}Y(s)-s\big)+4Y(s)=0.
Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos independentes:
Y(s)\big(s^{4}-5s^{2}+4\big)=s^{3}-5s.
Portanto
Y(s)=\frac{s^{3}-5s}{s^{4}-5s^{2}+4}.

Passo 5

Fatoramos o polinômio do denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observe que colocando u=s^{2} temos u^{2}-5u+4=(u-1)(u-4). Assim
s^{4}-5s^{2}+4=(s^{2}-1)(s^{2}-4)=(s-1)(s+1)(s-2)(s+2).
No numerador s^{3}-5s=s(s^{2}-5). Note também que Y(s) é uma função ímpar de s (pois o numerador é ímpar e o denominador é par), então é natural escrever Y(s) como s vezes uma função par em s. Isso simplifica a decomposição.

Passo 6

Propomos a decomposição mais simples compatível com a paridade:
Y(s)=s\left(\frac{A}{s^{2}-1}+\frac{B}{s^{2}-4}\right).
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}-1)(s^{2}-4)\) obtemos (dividindo também por \(s\), válido para identidades polinomiais) \[s^{2}-5 = A(s^{2}-4)+B(s^{2}-1).
Agora igualamos coeficientes. Expandindo:
s^{2}-5 = (A+B)s^{2}+(-4A-B).
Comparando coeficientes de s^{2} e dos termos constantes:
\begin{cases} 1 = A+B,\\[4pt] -5 = -4A - B. \end{cases}
Da primeira equação B=1-A\]. Substituindo na segunda: \[-5 = -4A -(1-A) = -3A -1 \quad\Rightarrow\quad -3A = -4 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{4}{3}.\] Então \(B=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3}.]

Passo 7

Substituindo A e B na decomposição obtemos
Y(s)=s\left(\frac{4/3}{s^{2}-1}-\frac{1/3}{s^{2}-4}\right)=\frac{4}{3}\,\frac{s}{s^{2}-1}-\frac{1}{3}\,\frac{s}{s^{2}-4}.

Passo 8

Agora lembramos as transformadas inversas úteis. Para a>0 vale
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.
Aqui \operatorname{cosh} é a cosseno hiperbólico e sua transformada é exatamente essa forma. Então podemos inverter termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}-1}\right\}=\operatorname{cosh}(t),\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}-4}\right\}=\operatorname{cosh}(2t).

Passo 9

Aplicando a transformada inversa em Y(s) obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=\frac{4}{3}\operatorname{cosh}(t)-\frac{1}{3}\operatorname{cosh}(2t).
Podemos rapidamente checar as condições iniciais: \operatorname{cosh}(0)=1 y(0)=4/3-1/3=1 e as derivadas ímpares em zero envolvem \operatorname{sinh}(0)=0, então y'(0)=y^{(3)}(0)=0, e as outras derivadas batem também — portanto a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\frac{4}{3}\operatorname{cosh}(t)-\frac{1}{3}\operatorname{cosh}(2t)

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