Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
C (b)
C (b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando transformada de Laplace:
com condições iniciais
Devemos obter a solução
no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a fórmula da transformada de Laplace para derivadas. Se
, então
Aqui cada
vem da aplicação sucessiva da integração por partes na definição da transformada. Agora aplicamos essa fórmula aos termos da EDO.
Passo 3
Calculemos as transformadas dos termos usando as condições iniciais dadas:
pois
e as outras derivadas iniciais são zero.
E
. Agora aplicamos a transformada na EDO inteira.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO obtemos
Agrupando os termos que multiplicam
e os termos independentes:
Portanto
Passo 5
Fatoramos o polinômio do denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Observe que colocando
temos
. Assim
No numerador
. Note também que
é uma função ímpar de
(pois o numerador é ímpar e o denominador é par), então é natural escrever
como
vezes uma função par em
. Isso simplifica a decomposição.
Passo 6
Propomos a decomposição mais simples compatível com a paridade:
Multiplicando ambos os lados por
Agora igualamos coeficientes. Expandindo:
Comparando coeficientes de
e dos termos constantes:
Da primeira equação
.]
Passo 7
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Passo 8
Agora lembramos as transformadas inversas úteis. Para
vale
Aqui
é a cosseno hiperbólico e sua transformada é exatamente essa forma. Então podemos inverter termo a termo:
Passo 9
Aplicando a transformada inversa em
obtemos a solução no domínio do tempo:
Podemos rapidamente checar as condições iniciais:
dá
e as derivadas ímpares em zero envolvem
, então
, e as outras derivadas batem também — portanto a solução satisfaz as condições iniciais.