Avaliar a convergência das séries
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a convergência da série
Informações dadas: a expressão do termo geral é
. A pergunta é: essa série converge ou diverge? (Se diverge, podemos também dizer se diverge para
.)
Passo 2
Um fato fundamental (teste do termo geral) que vou usar e que você deve lembrar para a prova: se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero quando
. Em linguagem matemática:
O contraposso é prático: se
(ou não existe), então a série diverge. Esse teste é rápido e frequentemente salva tempo na prova.
Passo 3
Calculamos o limite do termo geral
. Para ver o comportamento quando
é grande, dividimos numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite quando
. Como
, temos
Portanto
.
Passo 4
Pelo teste do termo geral (Passo 2), já que
, a série não pode convergir — ela diverge. Dá para afirmar ainda mais: como os termos são positivos a partir de algum
, a soma parcial cresce sem limite, ou seja, a série diverge para
. Uma forma simples de ver isso é observar que, para
,
(cheque: para
temos
, e a desigualdade mantém-se para
maiores), então as somas parciais a partir de um certo ponto são maiores que uma soma de infinitos
, que claramente diverge. Mas isso é apenas um detalhe extra — o ponto principal é que o termo geral não tende a zero, logo a série diverge.
Resposta
Diverge (mais precisamente, diverge para
).