Avaliar a convergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2 n+1}.
Informações dadas: a expressão do termo geral é \displaystyle a_n=\frac{n-1}{2 n+1}. A pergunta é: essa série converge ou diverge? (Se diverge, podemos também dizer se diverge para +\infty.)

Passo 2

Um fato fundamental (teste do termo geral) que vou usar e que você deve lembrar para a prova: se uma série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Em linguagem matemática:
\text{Se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
O contraposso é prático: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série diverge. Esse teste é rápido e frequentemente salva tempo na prova.

Passo 3

Calculamos o limite do termo geral \displaystyle a_n=\frac{n-1}{2 n+1}. Para ver o comportamento quando n é grande, dividimos numerador e denominador por n:
a_n=\frac{n-1}{2 n+1}=\frac{1-\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \tfrac{1}{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Pelo teste do termo geral (Passo 2), já que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\tfrac{1}{2}\neq 0, a série não pode convergir — ela diverge. Dá para afirmar ainda mais: como os termos são positivos a partir de algum n, a soma parcial cresce sem limite, ou seja, a série diverge para +\infty. Uma forma simples de ver isso é observar que, para n\ge 3,
\frac{n-1}{2n+1}\ge \frac{1}{4}
(cheque: para n=3 temos 2/7\approx0,2857>1/4, e a desigualdade mantém-se para n maiores), então as somas parciais a partir de um certo ponto são maiores que uma soma de infinitos \tfrac{1}{4}, que claramente diverge. Mas isso é apenas um detalhe extra — o ponto principal é que o termo geral não tende a zero, logo a série diverge.

Resposta

Diverge (mais precisamente, diverge para +\infty).

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