Considere os sistemas lineares
[rrr 3 & 2 & -1 6 & 4 & -2 -3 & -2 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 0 0 0 ]
e
[rrr 3 & 2 & -1 6 & 4 & -2 -3 & -2 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[r 2 4 -2 ]
(a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.
(b) Confirme que x1=1, x2=0, x3=1 é uma solução do sistema não homogêneo.
(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma solução geral do sistema não homogêneo.
(d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo.’

Passo 1

O enunciado fornece a mesma matriz
A = 3 & 2 & -1 6 & 4 & -2 -3 & -2 & 1
e pede:
– (a) a solução geral de A x=0;
– (b) mostrar que x=(1,0,1) satisfaz A x=(2,4,-2);
– (c) usar (a) e (b) para achar a solução geral de A x=(2,4,-2);
– (d) resolver diretamente A x=(2,4,-2) e conferir que dá o mesmo de (c).
Conteúdo: espaços nulos, particular + solução geral, eliminação de Gauss simples.

Passo 2

Analisando as linhas de A vemos que a segunda é 2 vezes a primeira e a terceira é -1 vez a primeira. Logo rank(A)=1 e há duas variáveis livres. A única equação não trivial é
3x1+2x2-x3=0

Passo 3

Escolhendo x2=lambda e x3=mu como livres, da equação vem
x1=-2lambda+mu3
Para evitar frações, reescrevemos o vetor (x1,x2,x3) como combinação linear de dois vetores base:
(x1,x2,x3) =lambdal(-2,3,0r)+mul(1,0,3r)
Portanto a solução geral do homogêneo é
,lambda(-2,3,0)+mu(1,0,3)mid lambda,muinR

Passo 4

Para (b) basta verificar
A101 = 3cdot1+2cdot0-1cdot1 6cdot1+4cdot0-2cdot1 -3cdot1-2cdot0+1cdot1 =24-2,
logo (1,0,1) é uma solução do sistema não homogêneo.

Passo 5

Pela teoria, a solução geral de A x=b é
x = xp + xh,
onde xp é uma solução particular (tomamos (1,0,1)) e xh é a solução geral do homogêneo. Assim
x = (1,0,1) + lambda(-2,3,0) + mu(1,0,3), lambda,muinR

Passo 6

Vamos resolver diretamente por eliminação de Gauss o sistema
3x1+2x2-x3=2, 6x1+4x2-2x3=4, -3x1-2x2+x3=-2
Subtraindo a segunda linha de 2 vezes a primeira e somando a terceira com a primeira, vemos que sobra apenas
3x1+2x2-x3=2,
com x2 e x3 livres. Igual ao homogêneo, escolhemos x2=lambda, x3=mu e obtemos
x1=2-2lambda+mu3,
de onde
x=(x1,x2,x3) =l(1,0,1r)+lambda(-2,3,0)+mu(1,0,3)
Isso coincide com o resultado do passo anterior.

Resposta

(a) x=lambda(-2,3,0)+mu(1,0,3), lambda,muinR
(b) Substituindo em A x obtemos (2,4,-2), logo é solução.
(c) x=(1,0,1)+lambda(-2,3,0)+mu(1,0,3), lambda,muinR
(d) A eliminação direta dá exatamente a mesma família de soluções.

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