Encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.
(x_{1}+3 x_{2}-4 x_{3}=0)
(x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo em três incógnitas:
x1+3x2-4x3=0, x1+2x2+3x3=0,
e pede (a) a solução geral, que é o espaço nulo da matriz de coeficientes, e (b) confirmar que os vetores linha dessa matriz são ortogonais a qualquer vetor solução. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral e depois calcular produtos internos para a ortogonalidade.

Passo 2

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar x1:
(x1+2x2+3x3)-(x1+3x2-4x3)=0-0 ;Longrightarrow;-x2+7x3=0
Logo,
x2=7x3

Passo 3

Usando x2=7x3 na primeira equação,
x1+3(7x3)-4x3=0 ;Longrightarrow; x1+21x3-4x3=0 ;Longrightarrow; x1=-17x3
Tomando parâmetro t=x3, a solução geral fica
(x1,x2,x3)=t,(-17,;7,;1), tinR

Passo 4

Os vetores linha da matriz de coeficientes são
;(1,3,-4) e (1,2,3). Seja v=t(-17,7,1) um vetor solução. Calculamos os produtos internos:
(1,3,-4)cdot(-17,7,1) =-17+21-4=0,
(1,2,3)cdot(-17,7,1) =-17+14+3=0
Como ambos são zero, os vetores linha são de fato ortogonais a qualquer vetor solução.

Resposta

A solução geral é
(x1,x2,x3)=t,(-17,7,1), tinR,
e os vetores linha (1,3,-4) e (1,2,3) são ortogonais aos vetores da forma t(-17,7,1).

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