Encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.
(x_{1}+3 x_{2}-4 x_{3}=0)
(x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0)
(x_{1}+3 x_{2}-4 x_{3}=0)
(x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo em três incógnitas:
e pede (a) a solução geral, que é o espaço nulo da matriz de coeficientes, e (b) confirmar que os vetores linha dessa matriz são ortogonais a qualquer vetor solução. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral e depois calcular produtos internos para a ortogonalidade.
Passo 2
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
:
Logo,
Passo 3
Usando
na primeira equação,
Tomando parâmetro
, a solução geral fica
Passo 4
Os vetores linha da matriz de coeficientes são
e
. Seja
um vetor solução. Calculamos os produtos internos:
Como ambos são zero, os vetores linha são de fato ortogonais a qualquer vetor solução.
Resposta
A solução geral é
e os vetores linha
e
são ortogonais aos vetores da forma
.