Mostre que B=(1,0),(0,1),(3,4) não é base de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
B = (1,0),,(0,1),,(3,4)
não é uma base de R^2.
Lembrando que uma base de R^2 deve satisfazer duas coisas simultâneas:
  1. Ser geradora de R^2.
  2. Ser um conjunto de vetores linearmente independentes.
    Além disso, como dim(R^2)=2, qualquer base de R^2 tem exatamente 2 vetores. Aqui B tem 3, então suspeitamos que haja dependência linear.

Passo 2

Para mostrar dependência linear, buscamos escalares
Isso equivale ao sistema
Dessa forma, podemos escolher (c_3 = 1], obtendo

que não é a solução trivial. Logo, há dependência linear.

Passo 3

Como encontramos uma relação não trivial entre os vetores de B, segue que B é linearmente dependente. Pelo critério de base, falhamos na independência linear, portanto B não pode ser uma base de R^2.

Resposta

O conjunto B não é base de R^2.

Exercícios relacionados