Encontre uma base para os seguintes subespaços do mathbbR^3:
Todos os vetores da forma ( a, b, c ), onde a=0

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^3 formado por todos os vetores (a,b,c) em que a=0. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais e base de um espaço vetorial. Para resolver, vamos (i) caracterizar esse subespaço, (ii) encontrar um conjunto de vetores que o gere e (iii) verificar que esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Denotemos esse subespaço por
S = (a,b,c)inR^3 mid a=0
Como a=0, todo vetor em S tem a forma (0,b,c) com b,cinR.

Passo 3

Observamos que qualquer (0,b,c) pode ser escrito como combinação linear de
v1 = (0,1,0) e v2 = (0,0,1),
pois
(0,b,c) = b,(0,1,0) ;+; c,(0,0,1)
Logo, v1,v2 gera S.

Passo 4

Para verificar a independência linear, consideremos
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0,0)
Isso dá
alpha,(0,1,0) + beta,(0,0,1) = (0,alpha,beta) = (0,0,0),
daí alpha=0 e beta=0. Portanto, v1 e v2 são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de S é
(0,1,0),,(0,0,1)

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