Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. Precisamos determinar e esboçar a resposta ao degrau, além de encontrar o tempo de subida e o tempo de assentamento. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com sistemas de controle e resposta ao degrau, então vamos precisar usar transformadas de Laplace e conceitos básicos de sistemas de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “resposta ao degrau”. Isso é quando aplicamos uma entrada em degrau, ou seja, uma mudança súbita de zero para um valor constante, e observamos como o sistema responde a essa mudança.
Como estamos trabalhando sem condições iniciais, assumimos que todas as condições anteriores são zero.
Passo 3
Vamos transformar a equação diferencial para o domínio de Laplace. Lembrando que, na transformada de Laplace:
Como as condições iniciais são zero, temos:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Então:
Passo 5
Como estamos aplicando um degrau, a transformada de Laplace de
é
. Substituindo na equação:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Essa é a expressão da resposta ao degrau.
Passo 7
Para encontrar o tempo de assentamento (
) e o tempo de subida (
), usamos as características de um sistema de primeira ordem. O tempo de assentamento geralmente é calculado como
. Como nosso sistema é de primeira ordem,
e
. Então:
O tempo de subida (
) para sistemas de primeira ordem é mais teórico, mas geralmente consideramos que o sistema atinge cerca de 63,2% da resposta final em
:
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é
. O tempo de subida é aproximadamente
segundos e o tempo de assentamento é cerca de
segundos.