Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento. doty+1,3 y=7 dotx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. Precisamos determinar e esboçar a resposta ao degrau, além de encontrar o tempo de subida e o tempo de assentamento. A equação que temos é:
doty + 1,3,y = 7,dotx
Aqui, estamos lidando com sistemas de controle e resposta ao degrau, então vamos precisar usar transformadas de Laplace e conceitos básicos de sistemas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “resposta ao degrau”. Isso é quando aplicamos uma entrada em degrau, ou seja, uma mudança súbita de zero para um valor constante, e observamos como o sistema responde a essa mudança.
Como estamos trabalhando sem condições iniciais, assumimos que todas as condições anteriores são zero.

Passo 3

Vamos transformar a equação diferencial para o domínio de Laplace. Lembrando que, na transformada de Laplace:
Ldoty = sY(s) - y(0)
Como as condições iniciais são zero, temos:
sY(s) + 1,3Y(s) = 7,sX(s)

Passo 4

Agora, isolamos Y(s)(s + 1,3) = 7,sX(s) :
Y(s) = 7,ss + 1,3 X(s)
Então:

Passo 5

Como estamos aplicando um degrau, a transformada de Laplace de Y(s) = 7,ss + 1,3 cdot 1s = 7s + 1,3 é . Substituindo na equação:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) = 7,e^-1,3,t :
Essa é a expressão da resposta ao degrau.

Passo 7

Para encontrar o tempo de assentamento ( ts approx 41 times 1,3 approx 3,08,s ) e o tempo de subida ( tr approx 11,3 approx 0,77,s ), usamos as características de um sistema de primeira ordem. O tempo de assentamento geralmente é calculado como . Como nosso sistema é de primeira ordem, e . Então:
O tempo de subida ( ) para sistemas de primeira ordem é mais teórico, mas geralmente consideramos que o sistema atinge cerca de 63,2% da resposta final em :

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é . O tempo de subida é aproximadamente segundos e o tempo de assentamento é cerca de segundos.

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