Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de primeira ordem sem condições iniciais representado pela função de transferência:
O conteúdo aqui envolve sistemas de controle e funções de transferência. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento de um sistema de primeira ordem com um atraso de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a resposta ao degrau. Quando aplicamos um sinal de degrau (uma entrada que sobe de 0 para 1 instantaneamente) a um sistema, a resposta do sistema nos mostra como ele reage a essa mudança. A função de transferência
nos ajuda a encontrar essa resposta no domínio do tempo.
Nossa função de transferência é:
Vamos simplificar isso sem o termo do atraso por enquanto:
Isso representa um sistema que tem um zero em
e um pólo em
.
Passo 3
Para encontrar a resposta ao degrau, usamos a transformada inversa de
multiplicada pela transformada do degrau, que é
. Então, a resposta no tempo
é:
Mas tem um detalhe: nosso sistema tem um atraso de tempo representado por
. Na prática, isso significa que toda a resposta será atrasada em 0,4 segundos. Então, vamos calcular a resposta sem o atraso e depois aplicar esse atraso.
Primeiro, simplificamos
:
Isso pode ser separado em duas partes:
Agora, multiplicando por
para a resposta ao degrau:
Aplicando a transformada inversa, obtemos a resposta no tempo sem o atraso:
Simplificando:
Então,
Agora, aplicando o atraso de 0,4 segundos:
Onde
é a função degrau unitário atrasada em 0,4 segundos.
Passo 4
Agora, vamos determinar o tempo de subida e o tempo de assentamento.
-
Tempo de Subida: É o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Observando a função
, o valor final após o atraso é aproximadamente 1,848. Vamos encontrar os momentos em que atinge 0,10 × 1,848 e 0,90 × 1,848. -
Tempo de Assentamento: É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma determinada faixa em torno do valor final, geralmente 2% ou 5%. Vamos considerar 2% aqui. Então, queremos que
esteja dentro de 1,848 ± 0,037 (2% de 1,848).
Para encontrar esses tempos, resolvemos as equações para
:
e
Resolvendo essas equações para
nos dará os tempos de subida e assentamento.
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é dada por:
O tempo de subida (de 10% a 90% do valor final) é aproximadamente 0,15 segundos, e o tempo de assentamento (dentro de 2% do valor final) é cerca de 0,3 segundos.