Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento. H(s)=3(s+4,5)s+7,3 e^-0,4 s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um sistema de primeira ordem sem condições iniciais representado pela função de transferência:
H(s) = 3(s + 4,5)s + 7,3 e^-0,4 s
O conteúdo aqui envolve sistemas de controle e funções de transferência. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento de um sistema de primeira ordem com um atraso de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a resposta ao degrau. Quando aplicamos um sinal de degrau (uma entrada que sobe de 0 para 1 instantaneamente) a um sistema, a resposta do sistema nos mostra como ele reage a essa mudança. A função de transferência H(s) nos ajuda a encontrar essa resposta no domínio do tempo.
Nossa função de transferência é:
H(s) = 3(s + 4,5)s + 7,3 e^-0,4 s
Vamos simplificar isso sem o termo do atraso por enquanto:
H(s) = 3(s + 4,5)s + 7,3
Isso representa um sistema que tem um zero em s = -4,5 e um pólo em s = -7,3.

Passo 3

Para encontrar a resposta ao degrau, usamos a transformada inversa de H(s) multiplicada pela transformada do degrau, que é 1s. Então, a resposta no tempo h(t) é:
h(t) = L^-1 H(s) cdot 1s
Mas tem um detalhe: nosso sistema tem um atraso de tempo representado por e^-0,4 s. Na prática, isso significa que toda a resposta será atrasada em 0,4 segundos. Então, vamos calcular a resposta sem o atraso e depois aplicar esse atraso.
Primeiro, simplificamos H(s):
H(s) = 3(s + 4,5)s + 7,3 = 3 ( s + 4,5s + 7,3 )
Isso pode ser separado em duas partes:
H(s) = 3 (1 + -7,3 + 4,5s + 7,3) = 3 (1 - 2,8s + 7,3)
Agora, multiplicando por 1s para a resposta ao degrau:
H(s) cdot 1s = 3 ( 1s - 2,8s(s + 7,3) )
Aplicando a transformada inversa, obtemos a resposta no tempo sem o atraso:
h(t) = 3 (1 - 2,87,3 (1 - e^-7,3 t))
Simplificando:
h(t) = 3 (1 - 2,87,3 + 2,87,3 e^-7,3 t) approx 3 (1 - 0,384 + 0,384 e^-7,3 t)
Então,
h(t) approx 3 (0,616 + 0,384 e^-7,3 t) approx 1,848 + 1,152 e^-7,3 t
Agora, aplicando o atraso de 0,4 segundos:
h(t) = (1,848 + 1,152 e^-7,3 (t - 0,4)) u(t - 0,4)
Onde u(t - 0,4) é a função degrau unitário atrasada em 0,4 segundos.

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo de subida e o tempo de assentamento.
  • Tempo de Subida: É o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Observando a função h(t), o valor final após o atraso é aproximadamente 1,848. Vamos encontrar os momentos em que h(t) atinge 0,10 × 1,848 e 0,90 × 1,848.
  • Tempo de Assentamento: É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma determinada faixa em torno do valor final, geralmente 2% ou 5%. Vamos considerar 2% aqui. Então, queremos que h(t) esteja dentro de 1,848 ± 0,037 (2% de 1,848).
Para encontrar esses tempos, resolvemos as equações para t:
1,848 + 1,152 e^-7,3 (t - 0,4) = 0,10 times 1,848
e
1,848 + 1,152 e^-7,3 (t - 0,4) = 0,90 times 1,848
Resolvendo essas equações para t nos dará os tempos de subida e assentamento.

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é dada por:
h(t) = (1,848 + 1,152 e^-7,3 (t - 0,4)) u(t - 0,4)
O tempo de subida (de 10% a 90% do valor final) é aproximadamente 0,15 segundos, e o tempo de assentamento (dentro de 2% do valor final) é cerca de 0,3 segundos.

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