Considere os sistemas seguintes nas incógnitas x, y e z.
\begin{array}{ll} \text { (a) } & x-2 y=1 \\\ & x-y+a z=2 \\\ & a y+9 z=b \\\ \text { (b) } & x+y+a z=1 \\\ & x+a y+z=4 \\\ & a x+y+z=b \end{array}
Para quais valores de a o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores (a, b) o sistema mais do que uma solução?

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares 3\times3 em x,y,z, cada um dependendo de um parâmetro a e de um termo livre b. O que se pede para cada sistema é:
  1. Para quais valores de a há solução única?
  2. Para quais pares (a,b) o sistema admite mais de uma solução (isto é, é singular mas compatível)?
    Para resolver, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes em função de a (caso \det\neq0 há solução única) e, quando \det=0, verificar a condição de compatibilidade para obter infinitas soluções.

Passo 2

Para o sistema (a)
\begin{cases} x - 2y + 0\cdot z =1,\\\ x - y + a z =2,\\\\ 0\cdot x + a y +9z =b, \end{cases}
a matriz dos coeficientes é
A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 1 & -1 & a\\\\ 0 & a & 9 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det A(a) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & a\a&9\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 0&9\end{pmatrix} = (-1\cdot9 -a^2)+2(1\cdot9-0) =9 - a^2.

Passo 3

Como \det A(a)=9 - a^2, temos solução única se e somente se
9 - a^2 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 3,\;a\neq -3.

Passo 4

Quando a=\pm3, tem-se \det A=0. Vamos achar os b que tornam o sistema compatível e, portanto, infinito de soluções.
  • Se a=3, as duas primeiras equações levam a
    \;y+3z=1,
    e a terceira dá 3y+9z=b, isto é 3(y+3z)=b. Compatibilidade exige b=3.
  • Se a=-3, as duas primeiras levam a
    \;y-3z=1,
    e a terceira é -3y+9z=b, ou -3(y-3z)=b. Compatibilidade exige b=-3.
    Para outros b, o sistema fica incompatível (sem solução).

Passo 5

Para o sistema (b)
\begin{cases} x + y + a z =1,\\\ x + a y + z =4,\\\ a x + y + z =b, \end{cases}
a matriz dos coeficientes é
B(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\\\ 1 & a & 1\\\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando
\det B(a) =1\cdot(a\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot1-a\cdot a)+a\cdot(1\cdot1-a\cdot a) = a-1-(1-a)+a(1-a^2) =3a-2-a^3 =-(a-1)^2(a+2).

Passo 6

Dessa forma \det B(a)\neq0 sempre que a\neq1 e a\neq -2, garantindo solução única nesses casos.

Passo 7

Quando \det B(a)=0, ou seja a=1 ou a=-2, o sistema pode ser compatível ou não:
  • Se a=1, as duas primeiras equações tornam-se
    x+y+z=1 e x+y+z=4, que são incompatíveis 1\neq4 para qualquer b.
  • Se a=-2, as equações são
    \;x+y-2z=1,\quad x-2y+z=4,\quad -2x+y+z=b.
    Verifica-se que a terceira é combinação linear das duas primeiras exatamente quando b=-5. Nesse caso o sistema tem infinitas soluções; para b\neq -5 é incompatível.

Resposta

Sistema (a):
  • Solução única para a\neq\pm3.
  • Infinitas soluções para (a,b)=(3,3) ou (a,b)=(-3,-3).
Sistema (b):
  • Solução única para a\neq1 e a\neq-2.
  • Infinitas soluções apenas para (a,b)=(-2,-5).

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