Encontre o posto e a nulidade A , sendo A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 3 \\\\ 2 & 5 & -1 & -4 \\\\ 3 & -2 & -1 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 2 & 5 & -1 & -4\\\\ 3 & -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}
e pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo). Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto e, em seguida, aplicar o teorema do posto-nulidade: \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A), onde n=4 é o número de colunas.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para chegar à forma escalonada por linhas:
primeiro
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1,
depois
R_3\leftarrow R_3+8R_2,
e por fim normalizamos a terceira linha. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & -3 & -10\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada vemos pivôs (primeiro elemento não nulo) nas colunas 1, 2 e 3. Logo
\operatorname{rank}(A)=3.

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade, como A tem 4 colunas,
\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.

Resposta

O posto de A é 3 e a nulidade de A é 1.

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