Prove: (\vec{u}, \vec{v}) é L.I. \Longleftrightarrow(\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}-\vec{v}) é L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre as duas afirmações:
\{\vec{u},\vec{v}\} é L.I.
\{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\} é L.I.
Lembrando que dois vetores w_1,w_2 são L.I. exatamente quando
\alpha\,w_1+\beta\,w_2=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\beta=0.

Passo 2

Provar que \{\vec{u},\vec{v}\} L.I. implica \{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\} L.I.
Suponha que \vec{u},\vec{v} sejam L.I. e considere
\alpha(\vec{u}+\vec{v})+\beta(\vec{u}-\vec{v})=0.
Expanda:
\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}+\beta\vec{u}-\beta\vec{v} =(\alpha+\beta)\vec{u}+(\alpha-\beta)\vec{v}=0.
Pela L.I. de \vec{u},\vec{v} segue
\alpha+\beta=0, \quad \alpha-\beta=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\beta=0,
logo \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v} são L.I.

Passo 3

Provar que \{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\} L.I. implica \{\vec{u},\vec{v}\} L.I.
Suponha que \vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v} sejam L.I. e considere
\gamma\vec{u}+\delta\vec{v}=0.
Escreva \vec{u} e \vec{v} em função de \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}:
\vec{u}=\tfrac12\bigl((\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v})\bigr), \quad \vec{v}=\tfrac12\bigl((\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}-\vec{v})\bigr).
Então
\gamma\vec{u}+\delta\vec{v} =\tfrac{\gamma+\delta}{2}(\vec{u}+\vec{v}) +\tfrac{\gamma-\delta}{2}(\vec{u}-\vec{v}) =0.
Pela L.I. de \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v} obtemos
\gamma+\delta=0, \quad \gamma-\delta=0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\delta=0,
logo \vec{u},\vec{v} são L.I.

Resposta

Concluímos que \{\vec{u},\vec{v}\} é L.I. se e somente se \{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\} é L.I.

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