Considere o sistemas a seguir e determine a solução geral
(2) lx1^prime=2 x1-52 x2 x2^prime=95 x1-x2

Passo 1

A questão pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
(x₁′=2x₁−(5/2)x₂, x₂′=(9/5)x₁−x₂). O conteúdo é valores e vetores próprios de A = 2 & -tfrac52[4pt] tfrac95 & -1. Vamos precisar do polinômio característico, das raízes (autovalores) e dos autovetores, de onde construiremos a solução real.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=2-lambda & -tfrac52[4pt] tfrac95 & -1-lambda=(2-lambda)(-1-lambda)-l(-tfrac52r)l(tfrac95r)
Explicando: usamos a definição de determinante 2×2 para obter uma equação em lambda.

Passo 3

Desenvolvendo o determinante chega-se a
(2-lambda)(-1-lambda)=-(2-lambda)(1+lambda)=-l(-lambda^2+lambda+2r)=lambda^2-lambda-2,
e a parte do produto cruzado é
-l(-tfrac52r)l(tfrac95r)=+tfrac92
Somando, o polinômio fica
lambda^2-lambda-2+tfrac92=lambda^2-lambda+tfrac52=0

Passo 4

Resolvendo lambda^2-lambda+2.5=0 com a fórmula de Bhaskara:
lambda=1pmraiz1-4cdot2.52=1pmraiz-92=12pmtfrac32,i
Logo temos autovalores complexos conjugados a+bi=tfrac12pmtfrac32i.

Passo 5

Para lambda=tfrac12+tfrac32i calculamos um autovetor v resolvendo
(A-lambda I)v=0Longrightarrow(2-lambda)v1-tfrac52,v2=0
Substituindo 2-lambda=tfrac32-tfrac32i e escolhendo v2=1, obtemos
v1=tfrac52tfrac32(1-i)=5(1+i)6
Portanto
v=tfrac56(1+i)1=p+i,q,
com p=5/61 e q=5/60.

Passo 6

Como os autovalores são a+bi e o autovetor é p+iq, as soluções reais fundamentais são
x^(1)(t)=e^atl(pcos(bt)-qsin(bt)r), x^(2)(t)=e^atl(psin(bt)+qcos(bt)r),
onde a=tfrac12 e b=tfrac32.

Passo 7

Substituindo p e q obtemos
x^(1)(t)=e^t/2tfrac56(costfrac3t2-sintfrac3t2)[4pt]costfrac3t2, x^(2)(t)=e^t/2tfrac56(sintfrac3t2+costfrac3t2)[4pt]sintfrac3t2
Finalmente, a combinação linear dessas duas dá a solução geral.

Passo 8

A solução geral do sistema é então
x(t)=C1,x^(1)(t)+C2,x^(2)(t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

x1(t)=5e^t/26l[C1l(costfrac3t2-sintfrac3t2r)+C2l(sintfrac3t2+costfrac3t2r)r],[8pt] x2(t)=e^t/2l[C1costfrac3t2+C2sintfrac3t2r]

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