Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelos gráficos de:
y=2^x, y=2 x-x^2, x=0 e x=2.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a área da região limitada pelas curvas y = 2^x, y = 2x - x^2 e pelas retas verticais x = 0 e x = 2. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar usar integrais definidas para calcular a diferença entre as funções que limitam a região.

Passo 2

Precisamos saber qual curva fica acima no intervalo [0,2]. A parábola y = 2x - x^2 tem raízes em x=0 e x=2, atingindo valor máximo 1 em x=1. A exponencial y = 2^x varia de 1 a 4 nesse mesmo intervalo. Como para todo xin[0,2] vale 2^x >= 1 e 2x - x^2 <= 1, concluímos que 2^x está sempre acima de 2x - x^2.

Passo 3

Agora que identificamos a curva superior e a inferior, montamos a integral da diferença entre 2^x e 2x - x^2 no intervalo de 0 a 2:
A = integral0^2 l(2^x - (2x - x^2)r),dx

Passo 4

Para calcular a integral, separamos em duas partes. Primeiro,
integral 2^x,dx = 2^xln 2
e depois
integral (2x - x^2),dx = x^2 - x^33
Substituindo no cálculo definido, temos
A = [2^xln 2 - l(x^2 - x^33r)]0^2 = (4ln2 - l(4 - 83r)) - (1ln2) = 3ln2 - 43

Resposta

3ln 2 - 43

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