Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício de sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação diferencial que descreve como o sistema responde a um estímulo, que nesse caso é um degrau (uma mudança repentina na entrada). Vamos precisar entender como montar e analisar a resposta ao degrau desse sistema, calcular o erro estacionário e, se a resposta for sub-amortecida (ou seja, se houver oscilações), determinar alguns tempos característicos como tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, além do sobressinal e da magnitude máxima.
A equação que vamos trabalhar é:
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar essa equação diferencial em uma função de transferência. Para fazer isso, aplicamos a transformada de Laplace na equação, assumindo que as condições iniciais são zero (como diz o enunciado).
Aplicando a transformada de Laplace:
Agora, isolamos Y(s):
Então, a função de transferência é:
Passo 3
Como queremos a resposta ao degrau, vamos considerar que a entrada é uma função degrau unitário, ou seja, .
Substituindo na função de transferência:
Passo 4
Para encontrar a resposta no tempo, precisamos realizar a transformada inversa de Laplace. Para isso, vamos decompor a fração usando frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e agrupando termos:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
B = -A approx -0,9286
C = -5,5 A approx -5,5 times 0,9286 approx -5,0873
Y(s) = 0,9286s + -0,9286 s - 5,0873s^2 + 5,5 s + 7
Então, a decomposição é:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Para o primeiro termo:
L^-1 0,9286s = 0,9286
Para o segundo termo, vamos reescrever a fração:
-0,9286 s - 5,0873s^2 + 5,5 s + 7 = -0,9286 cdot ss^2 + 5,5 s + 7 - 5,0873 cdot 1s^2 + 5,5 s + 7
Conhecendo as transformadas inversas padrão:
L^-1 ss^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = e^-zeta omegan t cos(omegad t)
L^-1 1s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = 1omegad e^-zeta omegan t sin(omegad t)
Primeiro, identificamos 2 zeta omegan = 5,5 e omegan^2 = 7 e omegan = raiz7 approx 2,6458 , rad/s :
Comparando com zeta = 5,52 times 2,6458 approx 1,04 :
Y(t) = 0,9286 - 0,9286 e^-1,04 times 2,6458 t cos(omegad t) - 5,0873omegad e^-1,04 times 2,6458 t sin(omegad t)
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Como , o sistema é superamortecido. Porém, o enunciado pede para caso seja subamortecido, então aqui não se aplicam os cálculos de sobressinal e tempos associados.
Voltando à transformada inversa:
Calculando :
Como , seria imaginário, o que confirma que o sistema é superamortecido e a resposta não oscila.
Passo 6
Com a resposta no tempo encontrada, podemos esboçar o gráfico. Para um sistema superamortecido:
A resposta começa no zero.
Cresce de forma monótona até atingir o valor final.
Não há oscilações.
O erro estacionário é a diferença entre o valor final desejado e o valor realmente alcançado pelo sistema. Para um degrau unitário multiplicado por 6,5, o valor final esperado é . Portanto, o erro estacionário é zero, já que o sistema alcança exatamente o valor final.
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é uma curva que aumenta de forma monótona, sem oscilações, atingindo um valor final de aproximadamente 0,9286. O erro estacionário é zero, pois o sistema alcança exatamente o valor final esperado. Como o sistema é superamortecido, não se aplicam os cálculos de tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal ou magnitude máxima.