Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem sem condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a resposta ao degrau desse sistema, calcular o erro estacionário e, se a resposta for subamortecida, determinar várias características como tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal e magnitude máxima. Para isso, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace e análise de sistemas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial para o domínio da frequência usando a Transformada de Laplace. Considerando que não temos condições iniciais (ou seja,
e
), a transformação fica assim:
Aqui, assumimos que o sinal de entrada
é um degrau unitário, cuja Transformada de Laplace é
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar a função de transferência do sistema:
Essa função de transferência nos permitirá determinar como o sistema responde ao degrau unitário.
Passo 4
Vamos analisar o denominador da função de transferência para entender o comportamento do sistema. O polinômio característico é:
Precisamos encontrar as raízes desse polinômio para determinar se o sistema é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. Isso nos ajuda a saber se a resposta terá oscilações ou não.
Passo 5
Calculando as raízes do polinômio característico:
Como o discriminante é zero (
), as duas raízes são iguais e reais. Isso significa que o sistema é criticamente amortecido, ou seja, retorna ao equilíbrio sem oscilações.
Passo 6
Como o sistema é criticamente amortecido, não há oscilações na resposta, o que simplifica nosso trabalho. Portanto, não precisamos calcular tempo de subida, tempo de pico, sobressinal ou magnitude máxima, já que essas características se aplicam a sistemas subamortecidos.
Passo 7
Para encontrar a resposta ao degrau no domínio do tempo, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Podemos usar a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão:
Resolvendo para
,
e
, encontramos:
Portanto,
Multiplicando pelo fator
que aparece na função de transferência:
Passo 8
Agora, vamos calcular o erro estacionário. O erro estacionário
é dado por:
Calculando:
Portanto,
Isso significa que o sistema apresenta um erro estacionário de aproximadamente 6,94%.
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é:
O erro estacionário é de aproximadamente 6,94%. Como o sistema é criticamente amortecido, não há oscilações nem sobressinal na resposta.