Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
ddoty+4,4 doty+4,84 y=4,5 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem sem condições iniciais:
ddoty + 4,4,doty + 4,84,y = 4,5,x
Nosso objetivo é encontrar a resposta ao degrau desse sistema, calcular o erro estacionário e, se a resposta for subamortecida, determinar várias características como tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal e magnitude máxima. Para isso, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace e análise de sistemas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial para o domínio da frequência usando a Transformada de Laplace. Considerando que não temos condições iniciais (ou seja, Y(s)(s^2 + 4,4,s + 4,84) = 4,5s e ), a transformação fica assim:
Aqui, assumimos que o sinal de entrada é um degrau unitário, cuja Transformada de Laplace é .

Passo 3

Agora, vamos isolar Y(s) = 4,5s(s^2 + 4,4,s + 4,84) para encontrar a função de transferência do sistema:
Essa função de transferência nos permitirá determinar como o sistema responde ao degrau unitário.

Passo 4

Vamos analisar o denominador da função de transferência para entender o comportamento do sistema. O polinômio característico é:
s^2 + 4,4,s + 4,84
Precisamos encontrar as raízes desse polinômio para determinar se o sistema é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. Isso nos ajuda a saber se a resposta terá oscilações ou não.

Passo 5

Calculando as raízes do polinômio característico:
s = -4,4 pm raiz(4,4)^2 - 4 cdot 1 cdot 4,842
s = -4,4 pm raiz19,36 - 19,362 = -4,42 = -2,2
Como o discriminante é zero ( ), as duas raízes são iguais e reais. Isso significa que o sistema é criticamente amortecido, ou seja, retorna ao equilíbrio sem oscilações.

Passo 6

Como o sistema é criticamente amortecido, não há oscilações na resposta, o que simplifica nosso trabalho. Portanto, não precisamos calcular tempo de subida, tempo de pico, sobressinal ou magnitude máxima, já que essas características se aplicam a sistemas subamortecidos.

Passo 7

Para encontrar a resposta ao degrau no domínio do tempo, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
y(t) = L^-14,5s(s + 2,2)^2
Podemos usar a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão:
4,5s(s + 2,2)^2 = As + Bs + 2,2 + C(s + 2,2)^2
Resolvendo para A = 1, B = -1, C = -2,2 , y(t) = 1 - e^-2,2,t(1 + 2,2,t) e y(t) = 4,54,84 (1 - e^-2,2,t(1 + 2,2,t)) approx 0,9306 (1 - e^-2,2,t(1 + 2,2,t)) , encontramos:
Portanto,
Multiplicando pelo fator que aparece na função de transferência:

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro estacionário. O erro estacionário ess = limt to infty (1 - y(t)) é dado por:
limt to infty y(t) = 4,54,84 = 0,9306
Calculando:
ess = 1 - 0,9306 = 0,0694
Portanto,
Isso significa que o sistema apresenta um erro estacionário de aproximadamente 6,94%.

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é:
y(t) approx 0,9306 (1 - e^-2,2,t(1 + 2,2,t))
O erro estacionário é de aproximadamente 6,94%. Como o sistema é criticamente amortecido, não há oscilações nem sobressinal na resposta.

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