Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de segunda ordem representado pela equação diferencial:
O conteúdo da matéria envolve sistemas de segunda ordem e suas respostas ao degrau. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como resposta ao degrau, erro estacionário, amortecimento, tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial no formato padrão de um sistema de segunda ordem:
Comparando com a equação dada:
Podemos identificar que:
-
-
(sem termo de amortecimento)
Isso significa que o sistema é não amortecido (
).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função de transferência do sistema. A função de transferência
é a transformada de Laplace da resposta do sistema quando
é um degrau unitário.
A função de transferência geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos determinar a resposta ao degrau
. Quando aplicamos um degrau unitário
, a transformada de Laplace é
.
Portanto:
Para encontrar
, fazemos a transformada inversa de Laplace:
Passo 5
Vamos esboçar a resposta ao degrau. Como o sistema é não amortecido (
), a resposta será uma oscilação senoidal sem amortecimento, ou seja, uma função que oscila indefinidamente sem diminuir a amplitude.
Passo 6
Agora, determinamos o erro estacionário. O erro estacionário
para um degrau é dado por:
Onde
é a diferença entre a entrada e a saída. Como a resposta é oscilatória sem amortecimento:
Portanto, o erro estacionário não é aplicável neste caso, pois a resposta não se estabiliza.
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é
, que oscila indefinidamente sem erro estacionário devido à ausência de amortecimento.