Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
ddoty+15 y=6,5 x

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de segunda ordem representado pela equação diferencial:
ddoty + 15 y = 6,5 x
O conteúdo da matéria envolve sistemas de segunda ordem e suas respostas ao degrau. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como resposta ao degrau, erro estacionário, amortecimento, tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal e magnitude máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial no formato padrão de um sistema de segunda ordem:
ddoty + 2 zeta omegan doty + omegan^2 y = K omegan^2 x
Comparando com a equação dada:
ddoty + 15 y = 6,5 x
Podemos identificar que:
  • (sem termo de amortecimento)
Isso significa que o sistema é não amortecido ( ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de transferência do sistema. A função de transferência H(s) = Y(s)X(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 é a transformada de Laplace da resposta do sistema quando H(s) = 15s^2 + 15 é um degrau unitário.
A função de transferência geral é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos determinar a resposta ao degrau Y(s) = H(s) cdot X(s) = 15s(s^2 + 15) . Quando aplicamos um degrau unitário y(t) = 1515 (1 - cos(raiz15 t)) = 1 - cos(raiz15 t) , a transformada de Laplace é .
Portanto:
Para encontrar , fazemos a transformada inversa de Laplace:

Passo 5

Vamos esboçar a resposta ao degrau. Como o sistema é não amortecido ( y(t) = 1 - cos(raiz15 t) ), a resposta será uma oscilação senoidal sem amortecimento, ou seja, uma função que oscila indefinidamente sem diminuir a amplitude.

Passo 6

Agora, determinamos o erro estacionário. O erro estacionário ess = limt to infty e(t) para um degrau é dado por:
limt to infty y(t) não conver>= para um valor fixo
Onde é a diferença entre a entrada e a saída. Como a resposta é oscilatória sem amortecimento:
ã
Portanto, o erro estacionário não é aplicável neste caso, pois a resposta não se estabiliza.

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é , que oscila indefinidamente sem erro estacionário devido à ausência de amortecimento.

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