Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
G(s)=73 e^-0,2 ss^2+8,4 s+76,93

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de segunda ordem sem condições iniciais, representado pela função de transferência:
G(s) = 73 e^-0,2 ss^2 + 8,4 s + 76,93
O conteúdo principal aqui é sistemas de segunda ordem e como analisar a resposta ao degrau desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como amortecimento, resposta temporal, erro estacionário e alguns parâmetros específicos de resposta, como tempo de subida e sobrepico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência sem o termo de atraso. O termo G(s) = 73s^2 + 8,4 s + 76,93 representa um atraso no sistema, mas para os cálculos iniciais, vamos focar na parte racional da função:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação característica do denominador:
s^2 + 8,4 s + 76,93 = 0
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular o parâmetro de amortecimento ( omegan = raizc = raiz76,93 approx 8,77 , rad/s ) e a frequência natural ( zeta = b2 raiza c = 8,42 times 8,77 approx 0,479 ) do sistema. As fórmulas são:

Passo 5

Com , que é menor que 1, sabemos que o sistema é subamortecido. Isso significa que a resposta ao degrau será oscilatória antes de se estabilizar.

Passo 6

A resposta ao degrau de um sistema subamortecido pode ser descrita pela fórmula:
y(t) = 1 - 1raiz1 - zeta^2 e^-zeta omegan t sin(omegad t + phi)
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Vamos calcular omegad = 8,77 times raiz1 - 0,479^2 approx 8,77 times raiz0,769 approx 8,77 times 0,877 approx 7,70 , rad/s :

Passo 8

Para esboçar a resposta ao degrau, sabemos que será uma função oscilatória que se aproxima de 1 ao longo do tempo, com amplitude decrescente devido ao fator exponencial .

Passo 9

Agora, vamos determinar o erro estacionário para a resposta ao degrau. O erro estacionário ess = 11 + Kp para um degrau é dado por:
ess = 11 + 0,949 approx 11,949 approx 0,513
onde é o ganho de posição, que no caso de uma função de transferência do tipo é .
Então,
Mas, como o sistema é do tipo 2 (pois o denominador é de segunda ordem), o erro estacionário para um degrau é zero. Portanto, há um erro estacionário nulo.

Passo 10

Vamos calcular os parâmetros específicos da resposta subamortecida:
  • Tempo de subida ( ): Tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final.
    Aproximadamente
  • Tempo de pico ( ): Tempo até o primeiro pico da resposta.
  • Tempo de acomodação ( ) para 3% e 2%: Tempo que a resposta leva para permanecer dentro de 3% ou 2% do valor final.
    para 2%, ajustando conforme a precisão desejada.
  • Sobressinal ( ): Quanto a resposta ultrapassa o valor final, calculado por:
  • Magnitude máxima: Valor máximo atingido pela resposta, que é vezes o valor final.

Resposta

O sistema é subamortecido, apresentando uma resposta ao degrau oscilatória que se estabiliza em 1. O erro estacionário é nulo. Os parâmetros da resposta são:
  • Tempo de subida: aproximadamente s
  • Tempo de pico: s
  • Tempo de acomodação para 3%: calculado por s
  • Tempo de acomodação para 2%: ajustado conforme precisão desejada
  • Sobressinal: aproximadamente
  • Magnitude máxima: aproximadamente vezes o valor final

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