Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de segunda ordem sem condições iniciais, representado pela função de transferência:
O conteúdo principal aqui é sistemas de segunda ordem e como analisar a resposta ao degrau desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como amortecimento, resposta temporal, erro estacionário e alguns parâmetros específicos de resposta, como tempo de subida e sobrepico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de transferência sem o termo de atraso. O termo
representa um atraso no sistema, mas para os cálculos iniciais, vamos focar na parte racional da função:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação característica do denominador:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular o parâmetro de amortecimento (
) e a frequência natural (
) do sistema. As fórmulas são:
Passo 5
Com
, que é menor que 1, sabemos que o sistema é subamortecido. Isso significa que a resposta ao degrau será oscilatória antes de se estabilizar.
Passo 6
A resposta ao degrau de um sistema subamortecido pode ser descrita pela fórmula:
onde
é a frequência amortecida.
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Para esboçar a resposta ao degrau, sabemos que será uma função oscilatória que se aproxima de 1 ao longo do tempo, com amplitude decrescente devido ao fator exponencial
.
Passo 9
Agora, vamos determinar o erro estacionário para a resposta ao degrau. O erro estacionário
para um degrau é dado por:
onde
é o ganho de posição, que no caso de uma função de transferência do tipo
é
.
Então,
Mas, como o sistema é do tipo 2 (pois o denominador é de segunda ordem), o erro estacionário para um degrau é zero. Portanto, há um erro estacionário nulo.
Passo 10
Vamos calcular os parâmetros específicos da resposta subamortecida:
-
Tempo de subida (
): Tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Aproximadamente -
Tempo de pico (
): Tempo até o primeiro pico da resposta. -
Tempo de acomodação (
) para 3% e 2%: Tempo que a resposta leva para permanecer dentro de 3% ou 2% do valor final. para 2%, ajustando conforme a precisão desejada. -
Sobressinal (
): Quanto a resposta ultrapassa o valor final, calculado por: -
Magnitude máxima: Valor máximo atingido pela resposta, que é
vezes o valor final.
Resposta
O sistema é subamortecido, apresentando uma resposta ao degrau oscilatória que se estabiliza em 1. O erro estacionário é nulo. Os parâmetros da resposta são:
- Tempo de subida: aproximadamente
s - Tempo de pico:
s - Tempo de acomodação para 3%: calculado por
s - Tempo de acomodação para 2%: ajustado conforme precisão desejada
- Sobressinal: aproximadamente
- Magnitude máxima: aproximadamente
vezes o valor final