Considere a situação do exercício anterior, mas seja \theta=30^{\circ}, m=0,4 \mathrm{~kg}, \ell=15 \mathrm{~m} e R=2 \Omega. A haste parte do repouso no topo do plano inclinado em t=0. Os trilhos possuem resistência desprezível. Existe um campo magnético constante direcionado verticalmente de módulo B=1,2 T.
Escreva a lei de Newton do movimento para a haste; mostre que a haste irá atingir uma velocidade terminal e determine seu valor.

Passo 1

O enunciado descreve uma haste condutora de massa m=0,4\\ \mathrm{kg} deslizando sem atrito sobre trilhos inclinados de ângulo \theta=30^\circ. Existe um circuito que inclui um resistor R=2\,\Omega e um campo magnético uniforme vertical de módulo B=1,2\,\mathrm{T}. A haste tem comprimento (separação entre trilhos) \ell=15\,\mathrm{m} e parte do repouso em t=0. Conteúdo usado: Lei de Faraday, força de Laplace e Segunda Lei de Newton.

Passo 2

Para encontrar a fem induzida na haste usamos a Lei de Faraday para um circuito cujo área varia com a posição x da haste:
\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}
Como \Phi = B\,(\ell x), tem-se
\varepsilon = B\,\ell\,\frac{dx}{dt} = B\,\ell\,v.

Passo 3

A corrente induzida no circuito vale
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\,\ell\,v}{R}.

Passo 4

A força magnética de retardo (força de Laplace) sobre a haste é
F_B = I\,\ell\,B = \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v,
sempre apontando para cima do plano e proporcional a v.

Passo 5

Aplicando a Segunda Lei de Newton ao movimento ao longo do plano inclinado, escolhendo o sentido positivo para baixo, temos
m\,a = m\,g\,\sin\theta - F_B
ou seja
m\,\frac{dv}{dt} + \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v = m\,g\,\sin\theta.

Passo 6

Como a força retarding é proporcional a v, existe velocidade terminal v_t quando dv/dt=0. Logo,
0 + \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v_t = m\,g\,\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad v_t = \frac{m\,g\,\sin\theta \;R}{B^2\,\ell^2}.
Substituindo m=0,4, g=9,8, \sin30^\circ=0,5, R=2, B=1,2, \ell=15,
v_t = \frac{0,4\cdot9,8\cdot0,5\cdot2}{(1,2)^2\cdot15^2} = \frac{3,92}{324} \approx1,21\times10^{-2}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A equação de movimento é
m\,\frac{dv}{dt} + \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v = m\,g\,\sin\theta,
há velocidade terminal dada por
v_t = \frac{m\,g\,\sin\theta \;R}{B^2\,\ell^2}\approx1{,}21\times10^{-2}\,\mathrm{m/s}.

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