Considere a situação do exercício anterior, mas seja \theta=30^{\circ}, m=0,4 \mathrm{~kg}, \ell=15 \mathrm{~m} e R=2 \Omega. A haste parte do repouso no topo do plano inclinado em t=0. Os trilhos possuem resistência desprezível. Existe um campo magnético constante direcionado verticalmente de módulo B=1,2 T.
Escreva a lei de Newton do movimento para a haste; mostre que a haste irá atingir uma velocidade terminal e determine seu valor.

Passo 1

O enunciado trata de uma haste condutora de massa m=0{,}4\,\mathrm{kg} que escorrega sem atrito mecânico ao longo de trilhos inclinados de ângulo \theta=30^\circ. Há um campo magnético uniforme vertical de módulo B=1{,}2\,\mathrm{T} e a resistência total do circuito formado pela haste e um resistor é R=2\,\Omega. A separação entre os trilhos (comprimento da haste) é \ell=15\,\mathrm{m}. Queremos escrever a lei de Newton para o movimento, mostrar que existe velocidade terminal e calcular seu valor.

Passo 2

Identificamos as forças que atuam na direção do movimento:
  1. Componente do peso ao longo do plano: F_g = m g \sin\theta.
  2. Força magnética de frenagem (força de Lorentz sobre a corrente induzida):
    Primeiro, a fem induzida é \varepsilon = B\,\ell\,v.A corrente no circuito é i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\,\ell\,v}{R}.Então a força magnética que se opõe ao movimento vale F_{\rm mag} = i\,\ell\,B = \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton na direção do deslocamento ao longo do plano (tomando positivo para baixo),
m\,\frac{dv}{dt} = F_g - F_{\rm mag} = m g \sin\theta - \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v.

Passo 4

A equação
m\,\frac{dv}{dt} + \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v = m g \sin\theta
é uma equação diferencial linear de primeira ordem cujo termo de “amortecimento” é proporcional a v. Em regime estacionário ( dv/dt=0) obtemos a velocidade terminal
v_{\rm term} = \frac{m\,g\sin\theta}{\displaystyle \frac{B^2\,\ell^2}{R}} = \frac{m\,g\,\sin\theta\,R}{B^2\,\ell^2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
v_{\rm term} = \frac{0{,}4 \times 9{,}8 \times \sin(30^\circ)\times 2}{(1{,}2)^2\times(15)^2} = \frac{0{,}4 \times 9{,}8 \times 0{,}5 \times 2}{1{,}44 \times 225} = \frac{3{,}92}{324} \approx 0{,}0121\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A lei de Newton é
m\,\frac{dv}{dt} = m g \sin\theta - \frac{B^2\,\ell^2}{R}\,v,
há velocidade terminal dada por
v_{\rm term} = \frac{m\,g\,\sin\theta\,R}{B^2\,\ell^2} \approx 1{,}21\times10^{-2}\,\mathrm{m/s}.

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