Considere a situação geral de 2 corpos de massas
e
cuja força de interação é uma força central. Escreva as equações de movimento para os 2 corpos. Introduza novas variáveis
, o vetor posição do centro de massa (CM), e
, o vetor coordenada relativa - o movimento passa a ser descrito em termos de
e
. Encontre as equações de movimento em
e
. O que representam estas equações de movimento?
Passo 1
Então, temos um problema de dois corpos com massas
e
que interagem através de uma força central. Isso significa que a força entre eles depende apenas da distância entre eles e está direcionada ao longo da linha que os une. Vamos usar as leis de Newton para escrever as equações de movimento desses corpos. Além disso, vamos introduzir duas novas variáveis:
, que representa a posição do centro de massa, e
, que é a coordenada relativa entre os dois corpos. Nosso objetivo é reescrever as equações de movimento em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força central significa que a força exercida por um corpo sobre o outro é igual e oposta, conforme a terceira lei de Newton. Vamos chamar a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 de
e a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1 de
. Então, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada corpo. Para o corpo 1:
E para o corpo 2:
Onde
e
são as acelerações dos corpos 1 e 2, respectivamente.
Passo 4
Vamos definir o vetor posição do centro de massa
e a coordenada relativa
. O centro de massa é dado por:
E a coordenada relativa é:
Passo 5
Para encontrar as equações de movimento em termos de
e
, vamos derivar a segunda derivada de
em relação ao tempo:
Substituindo as equações de movimento dos corpos:
Isso nos mostra que a aceleração do centro de massa é zero.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação de movimento para a coordenada relativa
. Subtraindo as equações de movimento dos dois corpos:
Como
:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Considerando que a aceleração do centro de massa é zero:
Isso implica que:
Substituindo de volta:
O que simplifica para:
Resposta
As equações de movimento no sistema de coordenadas do centro de massa e da coordenada relativa são:
onde
é a massa reduzida. A primeira equação indica que o centro de massa se move com velocidade constante (ou está em repouso se a aceleração é zero), e a segunda equação descreve o movimento relativo dos dois corpos sob a força central, similar ao movimento de uma única partícula com massa reduzida.