Considere o problema de dois corpos. Analise a situação quando um dos corpos possui massa (M) muito maior que a do outro,
. Mostre que:
é uma constante de movimento e a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de dois corpos onde um dos corpos tem uma massa muito maior que o outro, ou seja,
. O que precisamos mostrar é que o vetor momento angular
desse sistema é constante ao longo do tempo e que a trajetória do corpo de menor massa,
, ocorre num plano que contém o centro de força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e leis de movimento de Newton.
Passo 2
Vamos começar falando sobre o momento angular. O momento angular
de um corpo em relação a um ponto é dado por:
onde
é o vetor posição do corpo em relação ao ponto de referência (neste caso, o centro de força) e
é o momento linear, que é o produto da massa pela velocidade do corpo (
).
Passo 3
Para mostrar que
é constante, precisamos verificar se a sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja, se:
A derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque
:
O torque é dado por:
onde
é a força atuante no corpo.
Passo 4
No nosso caso, a única força atuando é a força gravitacional entre os dois corpos. Como
, podemos considerar que a força gravitacional atua na direção do vetor posição
, ou seja, a força é central. Isso significa que:
onde
é o vetor unitário na direção de
. Como a força é na direção de
, o produto vetorial
será zero:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a trajetória do corpo de massa
está localizada em um plano que contém o centro de força. Como o momento angular
é constante, isso significa que a direção do vetor momento angular não muda ao longo do tempo.
O vetor posição
e o vetor velocidade
do corpo estão sempre no mesmo plano perpendicular a
. Isso acontece porque a variação de
e
está restrita nesse plano fixo.
Como o plano determinado por
e
é o mesmo em todos os instantes, a trajetória do corpo
se mantém nesse plano, que também contém o centro de força (o ponto de referência).
Resposta
Assim, mostramos que o vetor momento angular
é uma constante de movimento e que a trajetória do corpo de massa
está localizada em um plano que contém o centro de força.