Considere o problema de dois corpos. Analise a situação quando um dos corpos possui massa (M) muito maior que a do outro, M>m. Mostre que: L é uma constante de movimento e a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de dois corpos onde um dos corpos tem uma massa muito maior que o outro, ou seja, M > m. O que precisamos mostrar é que o vetor momento angular L desse sistema é constante ao longo do tempo e que a trajetória do corpo de menor massa, m, ocorre num plano que contém o centro de força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e leis de movimento de Newton.

Passo 2

Vamos começar falando sobre o momento angular. O momento angular L de um corpo em relação a um ponto é dado por:
L = r times p
onde r é o vetor posição do corpo em relação ao ponto de referência (neste caso, o centro de força) e p é o momento linear, que é o produto da massa pela velocidade do corpo ( p = mv).

Passo 3

Para mostrar que L é constante, precisamos verificar se a sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja, se:
dLdt = 0
A derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque tau:
dLdt = tau
O torque é dado por:
tau = r times F
onde F é a força atuante no corpo.

Passo 4

No nosso caso, a única força atuando é a força gravitacional entre os dois corpos. Como M >> m, podemos considerar que a força gravitacional atua na direção do vetor posição r, ou seja, a força é central. Isso significa que:
F = F r
onde r é o vetor unitário na direção de r. Como a força é na direção de r, o produto vetorial r times F será zero:
tau = r times F = 0
Portanto:
dLdt = 0 Rightarrow L é constante é

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força. Como o momento angular L é constante, isso significa que a direção do vetor momento angular não muda ao longo do tempo.
O vetor posição r e o vetor velocidade v do corpo estão sempre no mesmo plano perpendicular a L. Isso acontece porque a variação de r e v está restrita nesse plano fixo.
Como o plano determinado por r e v é o mesmo em todos os instantes, a trajetória do corpo m se mantém nesse plano, que também contém o centro de força (o ponto de referência).

Resposta

Assim, mostramos que o vetor momento angular L é uma constante de movimento e que a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.

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