Movimento planetário: escreva a equação da órbita para F(r)=-kr^2, k>0. Encontre a solução desta equação. Esta solução corresponde à equação para que tipos de trajetórias? Relacione os possíveis pontos de retorno com a constante presente na solução, A (o que são estes pontos?). Expresse a constante A em termos de E e ell, as duas constantes de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento planetário, mais especificamente sobre como escrever a equação da órbita quando a força gravitacional é , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como as leis de Kepler, a lei da conservação do momento angular e a energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional que atua no planeta é central e inversamente proporcional ao quadrado da distância F(r) = -kr^2 . Isso significa que a força está sempre direcionada para o centro (o sol, por exemplo) e sua intensidade diminui conforme o planeta se afasta.
A equação da força é dada por:
Onde o sinal negativo indica que a força está puxando o planeta para dentro.

Passo 3

Para encontrar a equação da órbita, é mais conveniente trabalhar em coordenadas polares, onde a posição do planeta é descrita pela distância ell = r^2 dthetadt e pelo ângulo . Nesse sistema, a segunda lei de Newton para movimento central pode ser expressa usando a conservação do momento angular.
A conservação do momento angular nos diz que:
Onde é a constante de movimento angular.

Passo 4

Vamos agora relacionar a posição d^2udtheta^2 + u = kell^2 com o ângulo . Para isso, usamos a substituição . Dessa forma, a equação diferencial que descreve a órbita fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, onde .

Passo 5

A solução geral dessa equação é:
u(theta) = kell^2 + A cos(theta - theta0)
Onde u(theta) = kell^2 + A cos theta e 1r = kell^2 + A cos theta são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento.
Assumindo que r(theta) = 1kell^2 + A cos theta por simplicidade, temos:
O que nos dá:
Ou seja:

Passo 6

Essa equação é a equação da órbita para o movimento sob uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância. Reconhecemos que ela representa trajetórias conicas, que podem ser círculos, elipses, parábolas ou hipérboles, dependendo do valor da constante .

Passo 7

Os pontos de retorno são os pontos onde o planeta muda de direção radial, ou seja, nos extremos do movimento radial (pontos mais próximos e mais distantes do centro). Esses pontos estão relacionados ao valor da constante . Basicamente, determina a “abertura” da trajetória e, consequentemente, o tipo de trajetória seguida.

Passo 8

Agora, vamos expressar a constante A = 2Eell^2k^2 - 1 em termos da energia e do momento angular . A energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial, e está relacionada à constante na solução da órbita.
A relação é dada por:
Assim, expressamos em função de e .

Resposta

A solução da equação da órbita é:
r(theta) = 1kell^2 + A cos theta
Essa solução corresponde a trajetórias cônicas (círculos, elipses, parábolas ou hipérboles). Os pontos de retorno são os extremos da distância radial e estão diretamente relacionados à constante A = 2Eell^2k^2 - 1 . Além disso, a constante pode ser expressa em termos da energia e do momento angular pela relação:

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