Movimento planetário: escreva a equação da órbita para
. Encontre a solução desta equação. Esta solução corresponde à equação para que tipos de trajetórias? Relacione os possíveis pontos de retorno com a constante presente na solução, A (o que são estes pontos?). Expresse a constante A em termos de E e
, as duas constantes de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento planetário, mais especificamente sobre como escrever a equação da órbita quando a força gravitacional é
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como as leis de Kepler, a lei da conservação do momento angular e a energia mecânica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional que atua no planeta é central e inversamente proporcional ao quadrado da distância
. Isso significa que a força está sempre direcionada para o centro (o sol, por exemplo) e sua intensidade diminui conforme o planeta se afasta.
A equação da força é dada por:
Onde o sinal negativo indica que a força está puxando o planeta para dentro.
Passo 3
Para encontrar a equação da órbita, é mais conveniente trabalhar em coordenadas polares, onde a posição do planeta é descrita pela distância
e pelo ângulo
. Nesse sistema, a segunda lei de Newton para movimento central pode ser expressa usando a conservação do momento angular.
A conservação do momento angular nos diz que:
Onde
é a constante de movimento angular.
Passo 4
Vamos agora relacionar a posição
com o ângulo
. Para isso, usamos a substituição
. Dessa forma, a equação diferencial que descreve a órbita fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, onde
.
Passo 5
A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento.
Assumindo que
por simplicidade, temos:
O que nos dá:
Ou seja:
Passo 6
Essa equação é a equação da órbita para o movimento sob uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância. Reconhecemos que ela representa trajetórias conicas, que podem ser círculos, elipses, parábolas ou hipérboles, dependendo do valor da constante
.
Passo 7
Os pontos de retorno são os pontos onde o planeta muda de direção radial, ou seja, nos extremos do movimento radial (pontos mais próximos e mais distantes do centro). Esses pontos estão relacionados ao valor da constante
. Basicamente,
determina a “abertura” da trajetória e, consequentemente, o tipo de trajetória seguida.
Passo 8
Agora, vamos expressar a constante
em termos da energia
e do momento angular
. A energia total
do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial, e está relacionada à constante
na solução da órbita.
A relação é dada por:
Assim, expressamos
em função de
e
.
Resposta
A solução da equação da órbita é:
Essa solução corresponde a trajetórias cônicas (círculos, elipses, parábolas ou hipérboles). Os pontos de retorno são os extremos da distância radial e estão diretamente relacionados à constante
. Além disso, a constante
pode ser expressa em termos da energia
e do momento angular
pela relação: