Para a equação de movimento para
, é conveniente a utilização de coordenadas plano-polares (Por quê?). Encontre as equações de movimento em r e
. Obtenha
e
. Que constantes de movimento foram usadas para a obtenção de
(t) e r (t) ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a equação de movimento para um vetor posição
usando coordenadas plano-polares. Coordenadas plano-polares são legais porque facilitam quando o movimento tem alguma simetria circular ou radial. Então, pra resolver isso, a gente precisa entender como expressar as equações de movimento nas direções
(distância) e
(ângulo). Vamos precisar das leis de Newton e das equações de movimento em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas plano-polares, a posição de uma partícula é descrita por
e
. As componentes da velocidade e aceleração nesses termos são um pouco diferentes das coordenadas cartesianas.
A velocidade
em coordenadas polares é dada por:
E a aceleração
é:
Essas expressões vêm da derivada do vetor posição e levam em conta como
e
mudam no tempo.
Passo 3
Agora, aplicando a segunda lei de Newton,
, temos que:
Onde
e
são as componentes da força nas direções
e
.
Passo 4
O enunciado não especifica a força, mas geralmente, para simplificar, consideramos forças conservativas ou centrípetas. Suponhamos que a força seja apenas radial, então
. Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação angular:
Podemos reescrever essa equação como:
Integrando, obtemos:
Onde
é uma constante, que representa o momento angular da partícula.
Passo 6
Agora, vamos para a equação radial:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Para resolver essa equação diferencial, precisamos conhecer a forma de
. Se supormos que a força é central e derivada de um potencial, podemos integrar para encontrar
. No entanto, sem detalhes adicionais sobre
, podemos deixar a solução geral da equação.
Passo 8
Assumindo que
seja derivada de um potencial
, temos:
E a equação radial se torna:
Essa equação pode ser resolvida para
dependendo da forma específica de
.
Passo 9
Para encontrar
, usamos a relação que já encontramos:
Integrando:
Onde
é a constante de integração representando a posição angular inicial.
Passo 10
As constantes de movimento que usamos foram
, o momento angular, que é constante devido à ausência de torques externos, e a energia total do sistema, que pode ser uma constante dependendo de
. Essas constantes nos ajudam a determinar
e
.
Resposta
Encontramos que
é dado por:
E a equação radial é:
As constantes de movimento utilizadas foram o momento angular
e, dependendo do potencial
, a energia total do sistema. Essas constantes permitem determinar as funções
e
.