Considere uma situação hipotética em que dois cilindros infinitos de material isolante, com espessura desprezível, são dispostos de forma coaxial e estão carregados positivamente. O cilindro interno, de raio
, apresenta uma densidade superficial uniforme de carga
ao longo de sua superficie externa. O cilindro externo, de raio
, apresenta densidade superficial uniforme de carga
ao longo de sua superficie externa. Deseja-se calcular o campo elétrico no interior e no exterior do cilindro utilizando a equação de Gauss. Assinale a alternativa que descreve corretamente o campo elétrico
em função da distância
do eixo do cilindro.
(a)
para
.
(b)
para
.
©
para
.
(d)
para
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico de dois cilindros coaxiais carregados — um mais interno de raio
com densidade de carga superficial
e outro mais externo de raio
com densidade
. Vamos precisar de:
- Lei de Gauss (
), - Saber escolher superfície gaussiana cilíndrica,
- Entender simetria radial (o campo só depende de
).
Passo 2
Primeiro, recapitula a Lei de Gauss:
Como temos cilindros infinitos, o campo é radial e constante em qualquer círculo de raio
. Então, numa superfície cilindrica de comprimento
e raio
,
Passo 3
Vamos aos três casos:
-
: a superfície gaussiana fica totalmente dentro do cilindro interno, sem carga interna. -
- Logo
.
-
Passo 4
-
: agora a superfície envolve só o cilindro interno. - Carga interna por unidade de área:
. - Carga total dentro da superfície de comprimento
: - Aplicando Gauss:
- Carga interna por unidade de área:
Passo 5
-
: agora a superfície engloba ambos os cilindros. - Carga interna total:
- Pela Lei de Gauss:
) é - Carga interna total:
Resposta
(a)