Considere uma situação hipotética em que dois cilindros infinitos de material isolante, com espessura desprezível, são dispostos de forma coaxial e estão carregados positivamente. O cilindro interno, de raio R1, apresenta uma densidade superficial uniforme de carga sigma1 ao longo de sua superficie externa. O cilindro externo, de raio R2, apresenta densidade superficial uniforme de carga sigma2 ao longo de sua superficie externa. Deseja-se calcular o campo elétrico no interior e no exterior do cilindro utilizando a equação de Gauss. Assinale a alternativa que descreve corretamente o campo elétrico (E) em função da distância r do eixo do cilindro.
(a) E=sigma1+sigma22 pi varepsilon0 r para r>R2.
(b) E=0 para r>R2.
© E=sigma12 pi varepsilon0 r para r.
(d) E=sigma1+sigma22 pi varepsilon0 r para R1.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico de dois cilindros coaxiais carregados — um mais interno de raio com densidade de carga superficial e outro mais externo de raio com densidade . Vamos precisar de:
  • Lei de Gauss ( ),
  • Saber escolher superfície gaussiana cilíndrica,
  • Entender simetria radial (o campo só depende de ).

Passo 2

Primeiro, recapitula a Lei de Gauss:
oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0
Como temos cilindros infinitos, o campo é radial e constante em qualquer círculo de raio oint E,dA = E(r),(2pi r L) . Então, numa superfície cilindrica de comprimento e raio ,

Passo 3

Vamos aos três casos:
  1. : a superfície gaussiana fica totalmente dentro do cilindro interno, sem carga interna.
    • Logo .

Passo 4

  1. Qint = sigma1,(2pi R1 L) : agora a superfície envolve só o cilindro interno.
    • Carga interna por unidade de área: E(r),(2pi r L) = sigma1,2pi R1 Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = sigma1,R1varepsilon0,r .
    • Carga total dentro da superfície de comprimento :
    • Aplicando Gauss:

Passo 5

  1. Qint = sigma1,2pi R1 L ;+; sigma2,2pi R2 L : agora a superfície engloba ambos os cilindros.
    • Carga interna total: E(r),(2pi r L) = 2pi L(sigma1 R1 + sigma2 R2)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = sigma1 R1 + sigma2 R2varepsilon0,r
    • Pela Lei de Gauss: E(r) = sigma1+sigma22pivarepsilon0,r (r>R2)
    Mas, comparando com as alternativas dadas, a única que bate (embora elas “escondam” os raios num único ) é

Resposta

(a)

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