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EXERCÍCIO PRÁTICO 2.3
Considere o campo vetorial:
No ponto (
), determine:
(a)
;
(b)
;
© a componente vetorial de
normal à superfície
;
(d) a componente escalar de
tangencial a plano
.
Resposta: (a)
(b)
; ©
; (d) 0,06767
(a)
(b)
© a componente vetorial de
(d) a componente escalar de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
e pede para determinarmos algumas operações desse campo em um ponto específico
. Vamos precisar trabalhar com coordenadas cilíndricas, fazer produtos escalar e vetorial, e decompor vetores em componentes normais e tangenciais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como produtos escalar e vetorial, além de entender como decompor vetores em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
na expressão dada:
Vamos substituir as coordenadas do ponto dado
onde
,
e
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte (a):
.
Primeiro, precisamos expressar o vetor
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Substituindo
:
O produto escalar entre
e
é:
Como
é perpendicular a
e
, o termo envolvendo
se anula. Então:
Passo 4
Vamos para a parte (b):
.
Primeiro, identificamos
no ponto dado. Em coordenadas cilíndricas,
pode ser entendido como o ângulo
. Portanto,
.
O produto vetorial entre
e
é:
Utilizando as propriedades dos produtos vetoriais:
Então:
Considerando o fator
que anula o primeiro termo:
Passo 5
Para a parte ©, precisamos encontrar a componente vetorial de
normal à superfície
.
A superfície
é um cilindro, e o vetor normal a essa superfície é
.
Então, a componente normal de
é simplesmente a componente na direção de
:
Passo 6
Finalmente, na parte (d), queremos a componente escalar de
tangencial ao plano
.
O plano
tem como vetores tangentes
e
. A componente tangencial de
será a projeção de
nesse plano.
Como
, a componente tangencial é:
Resposta
(a)
(b)
© A componente vetorial de
normal à superfície
é
(d) A componente escalar de
tangencial ao plano
é