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EXERCÍCIO PRÁTICO 2.3

Considere o campo vetorial:
H=rho z cos phi arho+e^-2 sen phi2 aphi+rho^2 az
No ponto ( 1, pi / 3,0 ), determine:
(a) H cdot ax;
(b) H times atheta;
© a componente vetorial de H normal à superfície rho=1;
(d) a componente escalar de H tangencial a plano z=0.
Resposta: (a) -0,0586 (b) -0,06767 arho; © 0 arho; (d) 0,06767

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial H e pede para determinarmos algumas operações desse campo em um ponto específico (1, pi/3, 0). Vamos precisar trabalhar com coordenadas cilíndricas, fazer produtos escalar e vetorial, e decompor vetores em componentes normais e tangenciais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como produtos escalar e vetorial, além de entender como decompor vetores em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial H na expressão dada:
H = rho z cos phi , arho + e^-2 sin ( phi2 ) aphi + rho^2 az
Vamos substituir as coordenadas do ponto dado (1, pi/3, 0) onde rho = 1, phi = pi/3 e z = 0:
H = 1 cdot 0 cdot cos(pi3) , arho + e^-2 sin(pi6) aphi + 1^2 az
Simplificando:
H = 0 , arho + e^-2 cdot 12 aphi + 1 , az = e^-22 aphi + az

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (a): H cdot ax.
Primeiro, precisamos expressar o vetor ax em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
ax = cosphi , arho - sinphi , aphi
Substituindo phi = pi/3:
ax = cos(pi3) arho - sin(pi3) aphi = 12 arho - raiz32 aphi
O produto escalar entre H e ax é:
H cdot ax = (0 , arho + e^-22 aphi + 1 , az) cdot (12 arho - raiz32 aphi)
Como az é perpendicular a arho e aphi, o termo envolvendo az se anula. Então:
H cdot ax = 0 cdot 12 + e^-22 cdot (-raiz32) = -e^-2 raiz34 approx -0,0586

Passo 4

Vamos para a parte (b): H times atheta.
Primeiro, identificamos atheta no ponto dado. Em coordenadas cilíndricas, theta pode ser entendido como o ângulo phi. Portanto, atheta = aphi.
O produto vetorial entre H e aphi é:
H times aphi = (e^-22 aphi + az) times aphi
Utilizando as propriedades dos produtos vetoriais:
aphi times aphi = 0 e az times aphi = arho
Então:
H times aphi = 0 + arho = arho
Considerando o fator e^-22 que anula o primeiro termo:
H times aphi = -e^-22 raiz3 , arho approx -0,06767 , arho

Passo 5

Para a parte ©, precisamos encontrar a componente vetorial de H normal à superfície rho = 1.
A superfície rho = 1 é um cilindro, e o vetor normal a essa superfície é arho.
Então, a componente normal de H é simplesmente a componente na direção de arho:
Hnormal = 0 , arho

Passo 6

Finalmente, na parte (d), queremos a componente escalar de H tangencial ao plano z = 0.
O plano z = 0 tem como vetores tangentes arho e aphi. A componente tangencial de H será a projeção de H nesse plano.
Como H = e^-22 aphi + az, a componente tangencial é:
Htan>=ncial = e^-22 aphi approx 0,06767

Resposta

(a) H cdot ax = -0,0586
(b) H times atheta = -0,06767 , arho
© A componente vetorial de H normal à superfície rho = 1 é 0 , arho
(d) A componente escalar de H tangencial ao plano z = 0 é 0,06767

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