Considere a situação (II): um fio infinito de espessura desprezível uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda>0 e uma superfície gaussiana cúbica de lado a. O fio intercepta duas faces paralelas dessa superfície gaussiana, passando pelo ponto central de cada face como indica a figura. O ponto A está localizado sobre uma face dessa superfície e o ponto B, não.
Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
( ) O fluxo do campo elétrico gerado pelo fio é nulo em duas das faces da gaussiana indicada, e nas outras faces tem o mesmo valor.

Passo 1

O enunciado descreve um fio infinito, de densidade linear de carga \lambda>0, atravessando o centro de duas faces opostas de um cubo de aresta a. Queremos avaliar o fluxo do campo elétrico \mathbf{E} desse fio através de cada face da superfície gaussiana cúbica. Vamos usar simetria do problema e a Lei de Gauss para justificar se, de fato, duas faces têm fluxo nulo e as demais têm valor igual entre si.

Passo 2

Observe que as duas faces pelas quais o fio entra e sai são perpendiculares ao eixo do fio. O campo elétrico de um fio infinito é radial, ou seja, em cada ponto \mathbf{E} é perpendicular ao fio. Nessas duas faces o vetor normal aponta paralelo ao fio, logo \mathbf{E} fica contido no plano da face e sua componente normal é zero. Portanto, o fluxo através dessas duas faces é
\Phi_{\text{face perf.}}=\iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.

Passo 3

As outras quatro faces são paralelas ao eixo do fio. Nelas o campo forma um ângulo constante com o vetor normal de cada face, e, pelo fato do fio ser infinito e carregado uniformemente, a configuração do campo em cada uma dessas quatro faces é idêntica. Assim, o fluxo através de cada uma dessas quatro faces deve ter o mesmo valor, digamos \Phi_1.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss à superfície cúbica: o fio intercepta um trecho de comprimento a dentro do cubo, logo a carga total dentro da gaussiana é
Q_{\rm int}=\lambda\,a.
Pela Lei de Gauss, o fluxo total saindo do cubo é
\Phi_{\rm tot}=\sum_{\text{faces}}\Phi =\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} =\frac{\lambda\,a}{\varepsilon_0}.
Como somente quatro faces contribuem com fluxo não nulo e cada uma vale \Phi_1, temos
4\,\Phi_1=\frac{\lambda\,a}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \Phi_1=\frac{\lambda\,a}{4\,\varepsilon_0}.

Resposta

Verdadeiro.

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