Considere uma situação em que lançamos dois dados de 6 faces.
a. Esboce o espaço amostral Omega associado à esse problema.
b. Defina A=[ a face do 1^0 dado é par ] e B=[ a face do 2^0 dado é ímpar ]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, calcule P(A) e P(B).
c. Defina A cap B e, utilizando os resultados do item b mostre que A Perp B (i.e. que A e B são independentes) utilizando a definição de independência, que requer que P(A cap B)=P(A) cdot P(B).

Passo 1

O problema é de probabilidade clássica: lançamos dois dados de seis faces, cada par de resultados é igualmente provável, e queremos (a) descrever o espaço amostral Omega, (b) calcular as probabilidades de dois eventos A e B definidos em função de “par” e “ímpar”, e (c) mostrar que A e B são independentes usando P(Acap B)=P(A),P(B).

Passo 2

O espaço amostral é o conjunto de todos os pares ordenados (i,j) em que i é o resultado do primeiro dado e j é o resultado do segundo dado. Logo,
Omega = (i,j)mid i,jin1,2,3,4,5,6
Como há 6 opções para i e 6 para j, temos lvertOmegarvert=6times6=36.

Passo 3

Definimos os eventos:
A = ,(i,j)inOmega mid i é par é
B = ,(i,j)inOmega mid j é ímpar éí
No dado de seis faces há exatamente 3 números pares ( 2,4,6) e 3 ímpares ( 1,3,5). Assim,
lvert Arvert = 3times6 = 18, lvert Brvert = 6times3 = 18
Pela probabilidade clássica,
P(A)=lvert ArvertlvertOmegarvert=1836=tfrac12, P(B)=lvert BrvertlvertOmegarvert=1836=tfrac12

Passo 4

O evento interseção é
Acap B = ,(i,j)mid i é par e j é ímpar ééí
3 formas de i ser par e 3 formas de j ser ímpar, logo
lvert Acap Brvert = 3times3=9,
e
P(Acap B)=936=tfrac14

Passo 5

Para independência, verificamos se
P(Acap B)=P(A),P(B)
Como P(A)=tfrac12 e P(B)=tfrac12, temos
P(A),P(B)=tfrac12timestfrac12=tfrac14
e isso coincide com P(Acap B)=tfrac14. Portanto, A e B são independentes.

Resposta

a) Omega=(i,j)mid i,jin1,2,3,4,5,6.
b) P(A)=tfrac12, P(B)=tfrac12.
c) Acap B=(i,j)mid i par,,j ímparí e P(Acap B)=tfrac14=P(A),P(B), logo APerp B.

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