Suponha que estejamos conversando com as pessoas em uma certa cidade, e que tenhamos conhecimento de que 60 % da população seja Cristã e que 50 % seja Conservadora, isto é, que P( Cristão )=0,60 e P( Conservador )=0,50. Sabemos ainda que o fato de que um indivíduo seja Cristão usualmente está associado ao fato de que esse indivíduo também seja Conservador, e aqui especificamente temos que P( Conservador mid Cristão )=0,80.
Considere uma situação em que estejamos entrevistando as pessoas na rua da cidade de Belo Horizonte para aferirmos sobre a associação entre seu time de futebol do coração e sua felicidade no dia-a-dia. Independente do time de futebol para qual torcem, 60 % dos belo-horizontinos se consideram felizes, e 40% não se consideram felizes (ignore as outras possibilidades). Isto é, para um belo-horizontino aleatório, P( Feliz )=610 e P( Não Feliz )=410.
Por outro lado, considere que a probabilidade de que um indivíduo torça tanto para o Atlético Mineiro quanto para o Cruzeiro seja de 50 % (como sempre, ignore os Americanos e torcedores de times de outros estados, e inclua os simpatizes como sendo torcedores do Cruzeiro). Isto é, P( Galo )= P (Cruzeiro) =510. Naturalmente, devido a fatores como o desempenho do time do coração e elementos da personalidade individual que levam a uma pessoa a torcerem para certos times, sabemos ainda aqui que P( Feliz mid Galo )= \frac{9}{10}) e que P( Feliz mid Cruzeiro )=310. Qual é a probabilidade de que um indivíduo qualquer da população seja Atleticano, dado que esse indivíduo é Feliz? (Dica: utilize o Teorema de Bayes).

Passo 1

O enunciado trata de probabilidades condicionais e pede a probabilidade de o indivíduo torcer para o Atlético Mineiro (evento “Galo”), dado que ele é feliz (evento “Feliz”). Para resolver, vamos usar o Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Pela Lei da Probabilidade Total, a probabilidade de um belo-horizontino ser feliz é
P(Feliz) = P(Felizmid Galo),P(Galo) + P(Felizmid Cruzeiro),P(Cruzeiro)
Substituindo os valores:
P(Feliz) = 0,9cdot 0,5 + 0,3cdot 0,5 = 0,45 + 0,15 = 0,60

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
P(Galomid Feliz) = P(Felizmid Galo),P(Galo)P(Feliz) = 0,9cdot 0,50,6 = 0,450,6 = 0,75

Resposta

A probabilidade procurada é 0,75.

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