Questão 2 - Distribuição de Probabilidade e Valor Esperado
Considere que a variável aleatória representa o número de alunos evadidos por turma em uma escola pública da periferia de uma capital. A distribuição de probabilidade empírica obtida com dados de turmas similares foi:
de evadidos 0 1 2 3 4
0,10 0,25 0,30 0,20 0,15
a) Verifique se a função acima é uma distribuição de probabilidade válida.
b) Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória .
c) Interprete o valor esperado no contexto da evasão escolar.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória X que representa o número de alunos evadidos por turma, com a distribuição empírica
x: 0,;1,;2,;3,;4
P(X=x): 0,10,;0,25,;0,30,;0,20,;0,15
O que precisamos verificar é (a) se isso forma uma distribuição válida, (b) calcular E[X] e Var(X) e (c) interpretar E[X].

Passo 2

Para ser uma distribuição de probabilidade válida, precisamos ter (i) todas as probabilidades não-negativas e (ii) a soma das probabilidades igual a 1. Aqui todas são não-negativas por hipótese e
0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,20 + 0,15 = 1,00
Logo, é válida.

Passo 3

Para calcular o valor esperado usamos a definição
E[X] = sumx=0^4 x,P(X=x)
Substituindo,
E[X] = 0cdot0,10 + 1cdot0,25 + 2cdot0,30 + 3cdot0,20 + 4cdot0,15 = 2,05

Passo 4

Para a variância precisamos de E[X^2] e depois Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2.
Calculando
E[X^2] = 0^2cdot0,10 +1^2cdot0,25 +2^2cdot0,30 +3^2cdot0,20 +4^2cdot0,15 = 5,65
Então
Var(X) = 5,65 - (2,05)^2 = 5,65 - 4,2025 = 1,4475

Passo 5

Interpretando E[X]=2,05: em média, cada turma tem cerca de 2 alunos evadidos.

Resposta

a) Sim, pois todas as probabilidades são não-negativas e somam 1.
b) E[X]=2,05 e Var(X)=1,4475.
c) Em média, espera-se que cerca de 2 alunos por turma evadam.

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