Considere novamente o contexto da Questão 6 da Seção 2, em que uma moeda é lançada n=3 vezes.
a. Suponha agora que, ao invés de n=3 lançamentos, façamos um número qualquer n in N de lançamentos. Defina então C1=[ cara no 1^0 lançamento ], C2= [cara no 2^0 lançamento], ldots, Cn= [cara no n-ésimo lançamento]. Considerando novamente que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, defina capk=1^n Ck=C1 cap C2 cap ldots cap Cn e calcule P(capk=1^n Ck) (Dica: utilize a independência entre os Ci 's).
b. Defina A= [não ocorre nenhuma coroa até o n-ésimo lançamento], Kn+1=[ coroa no (n+1)-ésimo lançamento ] e calcule P(A cap Kn+1) (Dica: note que A=capk=1^n Ck, que A Perp Kn+1 e utilize o resultado do item a ).
c. Defina agora B=[ nenhuma cara até o n-ésimo lançamento, e 1 cara exatamente no n+1-ésimo lançamento] e calcule P(B) (Dica: utilize o resultado do item b).
d. Levando em consideração o resultado obtido no item c, você pode afirmar que, se lançarmos uma moeda um número suficientemente grande n de vezes, a probabilidade de eventualmente obtermos uma cara será de 100 % ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade 1/2 de cara (evento “cara”) e 1/2 de coroa (evento “coroa”) em cada lançamento. Para resolver a parte (a) precisamos usar a independência dos eventos
Ck = [cara no (k)-ésimo lançamento], k=1,dots,n, éç
e lembrar que, para eventos independentes,
Pl(capk=1^n Ckr) =prodk=1^nP(Ck)

Passo 2

Cada P(Ck)=1/2. Logo, pela independência,
Pl(capk=1^n Ckr) =underbracetfrac12cdottfrac12cdotstfrac12n vezes =l(tfrac12r)^n

Passo 3

Agora na parte (b) definem
A = capk=1^n Ck e Kn+1=[coroa no ((n+1))-ésimo lançamento] éç
Como A envolve apenas os primeiros n lançamentos e Kn+1 é independente deles,
P(Acap Kn+1) =P(A),P(Kn+1) =l(tfrac12r)^ntimestfrac12 =l(tfrac12r)^,n+1

Passo 4

Na parte (c) definem
B = [nenhuma cara até o (n)-ésimo lançamento] ;cap; [1 cara exatamente no ((n+1))-ésimo lançamento] ééçéç
Mas “nenhuma cara até o n-ésimo” significa que os primeiros n são coroas, e “cara no n+1” é um evento independente dessas coroas. Pelo mesmo raciocínio de independência,
P(B) =underbracetfrac12cdottfrac12cdotstfrac12n coroas ;times;tfrac12 =l(tfrac12r)^,n+1

Passo 5

Para (d) perguntam se, para n muito grande, a probabilidade de eventualmente obtermos uma cara é 100%. Note que o evento “obtém pelo menos uma cara nos primeiros n lançamentos” é o complementar de “nenhuma cara até n”, cuja probabilidade é l(tfrac12r)^n. Logo
P(pelo menos uma cara em (n) lançamentos) =1-l(tfrac12r)^n ç
Ao fazer ntoinfty, esse valor tende a
1-limntoinftyl(tfrac12r)^n =1-0=1
Isso significa que a probabilidade de eventualmente sair uma cara num número ilimitado de lançamentos é 1 (ou seja, “quase certo”). Em qualquer n finito, porém, a chance ainda é menor que 1; só no limite ela alcança 100%.

Resposta

a. l(tfrac12r)^n
b. l(tfrac12r)^,n+1
c. l(tfrac12r)^,n+1
d. Sim:
P(pelo menos uma cara até (n))=1-l(tfrac12r)^nlongrightarrow1 quando ntoinfty é

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