Considere novamente o contexto da Questão 6 da Seção 2, em que uma moeda é lançada vezes.
a. Suponha agora que, ao invés de lançamentos, façamos um número qualquer de lançamentos. Defina então cara no lançamento [cara no lançamento], [cara no -ésimo lançamento]. Considerando novamente que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, defina e calcule (Dica: utilize a independência entre os 's).
b. Defina [não ocorre nenhuma coroa até o -ésimo lançamento], coroa no -ésimo lançamento e calcule (Dica: note que , que e utilize o resultado do item ).
c. Defina agora nenhuma cara até o -ésimo lançamento, e 1 cara exatamente no -ésimo lançamento] e calcule (Dica: utilize o resultado do item b).
d. Levando em consideração o resultado obtido no item c, você pode afirmar que, se lançarmos uma moeda um número suficientemente grande de vezes, a probabilidade de eventualmente obtermos uma cara será de ? Justifique.
Passo 1
O enunciado trata de lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade de cara (evento “cara”) e de coroa (evento “coroa”) em cada lançamento. Para resolver a parte (a) precisamos usar a independência dos eventos
e lembrar que, para eventos independentes,
Passo 2
Cada . Logo, pela independência,
Passo 3
Agora na parte (b) definem
A = capk=1^n Ck e Kn+1=[coroa no ((n+1))-ésimo lançamento] éç
Como A envolve apenas os primeiros n lançamentos e Kn+1 é independente deles,
B = [nenhuma cara até o (n)-ésimo lançamento] ;cap; [1 cara exatamente no ((n+1))-ésimo lançamento] ééçéç
Mas “nenhuma cara até o n-ésimo” significa que os primeiros n são coroas, e “cara no n+1” é um evento independente dessas coroas. Pelo mesmo raciocínio de independência,
Para (d) perguntam se, para n muito grande, a probabilidade de eventualmente obtermos uma cara é 100%. Note que o evento “obtém pelo menos uma cara nos primeiros n lançamentos” é o complementar de “nenhuma cara até n”, cuja probabilidade é l(tfrac12r)^n. Logo
P(pelo menos uma cara em (n) lançamentos) =1-l(tfrac12r)^n ç
Ao fazer ntoinfty, esse valor tende a
1-limntoinftyl(tfrac12r)^n =1-0=1
Isso significa que a probabilidade de eventualmente sair uma cara num número ilimitado de lançamentos é 1 (ou seja, “quase certo”). Em qualquer n finito, porém, a chance ainda é menor que 1; só no limite ela alcança 100%.
Resposta
a. l(tfrac12r)^n
b. l(tfrac12r)^,n+1
c. l(tfrac12r)^,n+1
d. Sim:
P(pelo menos uma cara até (n))=1-l(tfrac12r)^nlongrightarrow1 quando ntoinfty é