Considere a situação de melhorar a capacidade de uma parede em resistir à passagem de calor, recobrindo com material termicamente isolante. Se o material 1 possui
condutividade térmica igual à 0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e 3,0 \mathrm{~cm} de espessura e o material 20,03 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e 12 cm de espessura. Se a temperatura externa da placa 1 é \mathrm{T}_{1}=250^{\circ} \mathrm{C} e da placa 2 é de \mathrm{T}_{2}= 35^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) A temperatura na interface das placas.
b) O fluxo de calor da parede composta pelos dois materiais.
c) Qual a nova temperatura na interface se as duas paredes têm a mesma espessura.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente para não nos perdermos):
  • Perguntas:
    1. A temperatura na interface entre as duas placas (a superfície de contato entre material 1 e material 2).
    2. O fluxo de calor através da parede composta (por unidade de área, já que a área não foi fornecida).
    3. A nova temperatura na interface se as duas paredes tiverem a mesma espessura (vou explicitar a suposição que faço para interpretar isso).
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica do material 1: \displaystyle k_{1}=0{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
    • Espessura do material 1: \displaystyle L_{1}=3{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • Condutividade térmica do material 2: \displaystyle k_{2}=0{,}03\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
    • Espessura do material 2: \displaystyle L_{2}=12\\ \mathrm{cm}.
    • Temperatura do lado quente (externo da placa 1): \displaystyle T_{1}=250^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do lado frio (externo da placa 2): \displaystyle T_{2}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Observação sobre unidades: as espessuras estão em centímetros; vou convertê-las para metros antes de calcular.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando de forma didática)?
  • Quando temos condução estacionária unidimensional por duas camadas em série (duas placas em contato), o calor que atravessa cada camada é o mesmo por unidade de área. Isso é análogo a resistências elétricas em série. Usamos o conceito de resistência térmica por unidade de área: R_i=\frac{L_i}{k_i},onde \displaystyle R_i é a resistência térmica (por unidade de área) da camada i, \displaystyle L_i é a espessura em metros e \displaystyle k_i é a condutividade térmica. As unidades de R_i ficam em \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W} (resistência térmica por unidade de área).
  • A queda total de temperatura entre as faces é: \Delta T = T_{1}-T_{2}.O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), que chamamos de \displaystyle q'' (lê-se “q barra barra”), é dado por: q''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}com R_{\text{total}} = R_1 + R_2 = \frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2}{k_2}.
  • A temperatura na interface vem da queda de temperatura na primeira camada: T_{\text{interface}} = T_{1} - q''\,R_{1}.
  • Vou aplicar esse método porque é o mais simples, direto e exatamente adequado para camadas em série sem geração interna de calor.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo das resistências térmicas individuais
  • Converter espessuras para metros: \displaystyle L_{1}=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m},
\displaystyle L_{2}=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \displaystyle R_{1} e \displaystyle R_{2}: \displaystyle R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1}}=\frac{0{,}03}{0{,}2}=0{,}15\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.
\displaystyle R_{2}=\frac{L_{2}}{k_{2}}=\frac{0{,}12}{0{,}03}=4{,}0\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.
  • Somar para obter a resistência total por unidade de área: \displaystyle R_{\text{total}}=R_{1}+R_{2}=0{,}15+4{,}0=4{,}15\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.

Passo 4

Cálculo do fluxo de calor por unidade de área \displaystyle q''
  • Diferença de temperatura entre as faces: \displaystyle \Delta T = T_{1}-T_{2}=250-35=215\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula do fluxo: \displaystyle q''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{215}{4{,}15}\\ \mathrm{W/m^{2}}.Vamos calcular numericamente: \displaystyle q''\approx 51{,}81\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Interpretação: isto significa que, por cada metro quadrado de parede, cerca de 51{,}81 watts atravessam a parede (do lado quente para o lado frio) em regime permanente.

Passo 5

Cálculo da temperatura na interface (caso original com L_{1}=0{,}03\\ \mathrm{m} e L_{2}=0{,}12\\ \mathrm{m})
  • Queda de temperatura na primeira camada: \displaystyle \Delta T_{1}=q''\,R_{1}=51{,}81\times 0{,}15\\ ^\circ\mathrm{C}.Calculando: \displaystyle \Delta T_{1}\approx 7{,}77\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Então a temperatura na interface é: \displaystyle T_{\text{interface}} = T_{1}-\Delta T_{1}=250-7{,}77\\ ^\circ\mathrm{C}.Logo, \displaystyle T_{\text{interface}}\approx 242{,}23^\circ\mathrm{C}.
  • Checagem rápida (usando a segunda camada): \Delta T_{2}=q''\,R_{2}\approx 51{,}81\times 4=207{,}23^\circ\mathrm{C}. E T_{2}+\Delta T_{2}=35+207{,}23=242{,}23^\circ\mathrm{C}, consistente.

Passo 6

Resposta da parte (b) explicitando o que estamos dando
  • Já calculamos o fluxo de calor por unidade de área: \displaystyle q''\approx 51{,}81\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Atenção: como a área da parede não foi fornecida, é usual reportar o fluxo por unidade de área. Se quiser o fluxo total Q seria Q=q''\times A, onde \displaystyle A é a área (não fornecida).

Passo 7

Interpretação da parte (c): hipótese e cálculo quando as duas paredes têm a mesma espessura
  • O enunciado diz “se as duas paredes têm a mesma espessura”. Para dar um número precisamos escolher o que significa isso em valor numérico. A interpretação mais natural (e frequentemente adotada em exercícios) é conservar a espessura total e redistribuí-la igualmente entre as duas camadas, ou seja: \displaystyle L_{\text{total}}=L_{1}+L_{2}=0{,}03+0{,}12=0{,}15\\ \mathrm{m},e então tomar \displaystyle L_{1}'=L_{2}'=\frac{L_{\text{total}}}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.(Estou adotando essa suposição para dar um resultado numérico; se você quisesse outra interpretação—por exemplo, que ambas passassem a ter 3\\ \mathrm{cm} ou 12\\ \mathrm{cm}—basta dizer e eu refaço os cálculos.)
  • Calcular novas resistências: \displaystyle R_{1}'=\frac{0{,}075}{0{,}2}=0{,}375\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W},
\displaystyle R_{2}'=\frac{0{,}075}{0{,}03}=2{,}5\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.
\displaystyle R_{\text{total}}' = R_{1}'+R_{2}' = 0{,}375+2{,}5=2{,}875\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.
  • Novo fluxo por unidade de área: \displaystyle q''{}'=\frac{215}{2{,}875}\approx 74{,}78\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Queda de temperatura na primeira camada nova: \displaystyle \Delta T_{1}'=q''{}'\,R_{1}'\approx 74{,}78\times 0{,}375\approx 28{,}04\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Nova temperatura na interface: \displaystyle T_{\text{interface}}' = T_{1}-\Delta T_{1}'\approx 250-28{,}04\approx 221{,}96^\circ\mathrm{C}.
  • Observação física intuitiva: ao fazer as espessuras mais parecidas (a camada de baixa condutividade ficou mais fina em relação ao caso original), a resistência total diminuiu e o fluxo aumentou; por isso a interface ficou mais fria (mais queda de temperatura na camada 1 relativa ao caso anterior), resultando em \displaystyle T_{\text{interface}}' menor que antes.

Resposta

\displaystyle T_{\text{interface}}\approx 242{,}23^\circ\mathrm{C}
\displaystyle q''\approx 51{,}81\\ \mathrm{W/m^{2}}
\displaystyle T_{\text{interface}}'\approx 221{,}96^\circ\mathrm{C}

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