Considere a situação de melhorar a capacidade de uma parede em resistir à passagem de calor, recobrindo com material termicamente isolante. Se o material 1 possui
condutividade térmica igual à
e
de espessura e o material
e 12 cm de espessura. Se a temperatura externa da placa 1 é
e da placa 2 é de
. Determine:
a) A temperatura na interface das placas.
b) O fluxo de calor da parede composta pelos dois materiais.
c) Qual a nova temperatura na interface se as duas paredes têm a mesma espessura.
condutividade térmica igual à
a) A temperatura na interface das placas.
b) O fluxo de calor da parede composta pelos dois materiais.
c) Qual a nova temperatura na interface se as duas paredes têm a mesma espessura.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente para não nos perdermos):
- Perguntas:
- A temperatura na interface entre as duas placas (a superfície de contato entre material 1 e material 2).
- O fluxo de calor através da parede composta (por unidade de área, já que a área não foi fornecida).
- A nova temperatura na interface se as duas paredes tiverem a mesma espessura (vou explicitar a suposição que faço para interpretar isso).
- Dados fornecidos:
- Condutividade térmica do material 1:
. - Espessura do material 1:
. - Condutividade térmica do material 2:
. - Espessura do material 2:
. - Temperatura do lado quente (externo da placa 1):
. - Temperatura do lado frio (externo da placa 2):
.
- Condutividade térmica do material 1:
- Observação sobre unidades: as espessuras estão em centímetros; vou convertê-las para metros antes de calcular.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando de forma didática)?
- Quando temos condução estacionária unidimensional por duas camadas em série (duas placas em contato), o calor que atravessa cada camada é o mesmo por unidade de área. Isso é análogo a resistências elétricas em série. Usamos o conceito de resistência térmica por unidade de área:
onde é a resistência térmica (por unidade de área) da camada , é a espessura em metros e é a condutividade térmica. As unidades de ficam em (resistência térmica por unidade de área). - A queda total de temperatura entre as faces é:
O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), que chamamos de (lê-se “q barra barra”), é dado por: com - A temperatura na interface vem da queda de temperatura na primeira camada:
- Vou aplicar esse método porque é o mais simples, direto e exatamente adequado para camadas em série sem geração interna de calor.
Passo 3
Conversão de unidades e cálculo das resistências térmicas individuais
- Converter espessuras para metros:
- Calcular
e :
- Somar para obter a resistência total por unidade de área:
Passo 4
Cálculo do fluxo de calor por unidade de área
- Diferença de temperatura entre as faces:
- Aplicando a fórmula do fluxo:
Vamos calcular numericamente: - Interpretação: isto significa que, por cada metro quadrado de parede, cerca de
watts atravessam a parede (do lado quente para o lado frio) em regime permanente.
Passo 5
Cálculo da temperatura na interface (caso original com
e
)
- Queda de temperatura na primeira camada:
Calculando: - Então a temperatura na interface é:
Logo, - Checagem rápida (usando a segunda camada):
. E , consistente.
Passo 6
Resposta da parte (b) explicitando o que estamos dando
- Já calculamos o fluxo de calor por unidade de área:
- Atenção: como a área da parede não foi fornecida, é usual reportar o fluxo por unidade de área. Se quiser o fluxo total
seria , onde é a área (não fornecida).
Passo 7
Interpretação da parte (c): hipótese e cálculo quando as duas paredes têm a mesma espessura
- O enunciado diz “se as duas paredes têm a mesma espessura”. Para dar um número precisamos escolher o que significa isso em valor numérico. A interpretação mais natural (e frequentemente adotada em exercícios) é conservar a espessura total e redistribuí-la igualmente entre as duas camadas, ou seja:
e então tomar (Estou adotando essa suposição para dar um resultado numérico; se você quisesse outra interpretação—por exemplo, que ambas passassem a ter ou —basta dizer e eu refaço os cálculos.) - Calcular novas resistências:
- Novo fluxo por unidade de área:
- Queda de temperatura na primeira camada nova:
- Nova temperatura na interface:
- Observação física intuitiva: ao fazer as espessuras mais parecidas (a camada de baixa condutividade ficou mais fina em relação ao caso original), a resistência total diminuiu e o fluxo aumentou; por isso a interface ficou mais fria (mais queda de temperatura na camada 1 relativa ao caso anterior), resultando em
menor que antes.