A força de atração entre dois pontos materiais " m " { }_{1} \mathrm{e} \mathrm{m}_{2} ", segundo a lei de Newton, tem por expressão: F=K \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}, sendo “r” a distância entre ambos os pontos. Encontre a dimensão da constante nos sistemas [FLT] e [MLT], respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a lei
F = K \frac{m_1 m_2}{r^2}
onde F é a força de atração entre duas partículas, m_1 e m_2 são as massas, r é a distância entre elas e K é uma constante cuja dimensão devemos determinar.
O que se pede: encontrar a dimensão de K nos sistemas de unidades [FLT] e [MLT], respectivamente.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula acima (já escrita), e que r é uma medida de comprimento, m_1,m_2 são massas e F é força.

Passo 2

Primeira ação prática: isolar K para escrever sua dimensão de forma direta. Dividindo a fórmula por \dfrac{m_1 m_2}{r^2} obtemos
K = F \frac{r^2}{m_1 m_2}.
Em termos de dimensões (onde [\cdot] denota “dimensão de”):
[K] = [F]\,[r]^2\,[m]^{-2}.
Aqui usei a notação [r]=L para comprimento e [m]= dimensão da massa; explicarei como expressar [m] ou [F] nos diferentes sistemas pedindo em seguida.

Passo 3

Explicação útil sobre dimensões e como trocar entre bases: quando trocamos a base de grandezas fundamentais (por exemplo de [MLT] para [FLT]), precisamos relacionar as grandezas não-fundamentais às fundamentais usando leis físicas básicas. A lei de Newton \;F = m a\; conecta força, massa e aceleração; a aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, isto é
[a] = L\,T^{-2}.
Daí, rearranjando [F]=[m][a], obtemos a dimensão da massa em termos de F,L,T:
[m] = [F]\,[a]^{-1} = [F]\,[L]^{-1}\,[T]^2.
Este passo é essencial para passar de [K] escrito com [m] para a base [F,L,T].

Passo 4

Calcular [K] no sistema [FLT].
Partimos de
[K] = [F]\,[L]^2\,[m]^{-2}.
Substituímos a expressão de [m] em [F],[L],[T] obtida no passo anterior:
[m]^{-2} = \big([F]\,[L]^{-1}\,[T]^2\big)^{-2} = [F]^{-2}\,[L]^2\,[T]^{-4}.
Agora multiplicamos:
[K] = [F]\,[L]^2 \cdot \big([F]^{-2}\,[L]^2\,[T]^{-4}\big).
Agrupando potências da mesma base:
[K] = [F]^{1-2}\,[L]^{2+2}\,[T]^{-4} = [F]^{-1}\,[L]^4\,[T]^{-4}.
Portanto, na base [FLT] a dimensão de K é
[K] = F^{-1}L^{4}T^{-4}.

Passo 5

Calcular [K] no sistema [MLT].
Neste sistema a massa M já é uma base, portanto usamos diretamente [m]=M. Também expressamos [F] em [M,L,T] através de \;F=ma\;:
[F] = [m]\,[a] = M\,L\,T^{-2}.
Substituímos em
[K] = [F]\,[L]^2\,[m]^{-2}
usando [F]=M L T^{-2} e [m]=M:
[K] = (M L T^{-2})\,L^2\,M^{-2}.
Agora simplificamos as potências:
[K] = M^{1-2}\,L^{1+2}\,T^{-2} = M^{-1}\,L^{3}\,T^{-2}.
Portanto, na base [MLT] a dimensão de K é
[K] = M^{-1}L^{3}T^{-2}.

Passo 6

Pequena verificação e comentário final (pra te deixar mais confiante): a dimensão encontrada em [MLT], \;M^{-1}L^3T^{-2}\;, é justamente a dimensão habitual da constante gravitacional (aquela G da gravitação newtoniana). Faz sentido físico: K na fórmula dada tem exatamente o papel dessa constante. Então os resultados são coerentes.

Resposta

[K]_{[FLT]} = F^{-1}L^{4}T^{-4}
[K]_{[MLT]} = M^{-1}L^{3}T^{-2}

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