A força de atração entre dois pontos materiais " m "
’
", segundo a lei de Newton, tem por expressão:
, sendo “r” a distância entre ambos os pontos. Encontre a dimensão da constante nos sistemas [FLT] e [MLT], respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá a lei
onde
é a força de atração entre duas partículas,
e
são as massas,
é a distância entre elas e
é uma constante cuja dimensão devemos determinar.
O que se pede: encontrar a dimensão de nos sistemas de unidades
e
, respectivamente.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula acima (já escrita), e que é uma medida de comprimento,
são massas e
é força.
O que se pede: encontrar a dimensão de
Informações relevantes fornecidas: a fórmula acima (já escrita), e que
Passo 2
Primeira ação prática: isolar
para escrever sua dimensão de forma direta. Dividindo a fórmula por
obtemos
Em termos de dimensões (onde
denota “dimensão de”):
Aqui usei a notação
para comprimento e
dimensão da massa; explicarei como expressar
ou
nos diferentes sistemas pedindo em seguida.
Passo 3
Explicação útil sobre dimensões e como trocar entre bases: quando trocamos a base de grandezas fundamentais (por exemplo de
para
), precisamos relacionar as grandezas não-fundamentais às fundamentais usando leis físicas básicas. A lei de Newton
conecta força, massa e aceleração; a aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, isto é
Daí, rearranjando
, obtemos a dimensão da massa em termos de
:
Este passo é essencial para passar de
escrito com
para a base
.
Passo 4
Calcular
no sistema
.
Partimos de
Substituímos a expressão de
em
obtida no passo anterior:
Agora multiplicamos:
Agrupando potências da mesma base:
Portanto, na base
a dimensão de
é
Passo 5
Calcular
no sistema
.
Neste sistema a massa
já é uma base, portanto usamos diretamente
. Também expressamos
em
através de
:
Substituímos em
usando
e
:
Agora simplificamos as potências:
Portanto, na base
a dimensão de
é
Passo 6
Pequena verificação e comentário final (pra te deixar mais confiante): a dimensão encontrada em
,
, é justamente a dimensão habitual da constante gravitacional (aquela
da gravitação newtoniana). Faz sentido físico:
na fórmula dada tem exatamente o papel dessa constante. Então os resultados são coerentes.