Um fluido está passando sobre um corpo sólido. A força “F” exercida sobre o corpo é função da velocidade do fluido 'v", da massa específica do fluido " \rho ", da viscosidade do fluido " \mu " e de uma dimensão do corpo " L ". por análise dimensional, obter os grupos adimensionais formados pelas variáveis dadas. Faça com que " \mu " esteja em uma única equação.

Passo 1

O enunciado pede: obter por análise dimensional os grupos adimensionais formados pelas variáveis \,F\,,\,v\,,\,\rho\,,\,\mu\,,\,L\,. Liste das informações dadas (com as dimensões físicas de cada variável):\n
\,F: força, dimensões \,[F]=M\,L\,T^{-2}\n
\,v: velocidade, dimensões \,[v]=L\,T^{-1}\n
\,\rho: massa específica (densidade), dimensões \,[\rho]=M\,L^{-3}\n
\,\mu: viscosidade dinâmica, dimensões \,[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}\n
\,L: dimensão do corpo (comprimento), dimensões \,[L]=L\n
O que se quer: encontrar os grupos adimensionais (os \pi-grupos) formados por essas variáveis, fazendo com que \mu apareça apenas em uma única equação adimensional.

Passo 2

Breve explicação da ferramenta que vamos usar: Teorema de Buckingham \pi.\n
O teorema diz que se temos n variáveis físicas que envolvem k dimensões fundamentais (aqui M,L,T), então podemos formar n-k grupos adimensionais independentes chamados \pi-grupos. Cada \pi-grupo é uma combinação monomial das variáveis que é adimensional.\n
Aqui n=5 e k=3, portanto teremos 5-3=2 grupos adimensionais independentes.\n
Escolha de variáveis repetidas: para construir os \pi-grupos escolhemos k=3 variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes. Vou escolher \rho, v e L como repetidas. Razão: elas cobrem as três dimensões M,L,T de forma independente (veja abaixo) e não incluímos \mu para garantir que a viscosidade apareça apenas em um dos \pi-grupos.

Passo 3

Construção do primeiro \pi-grupo envolvendo F. Assumimos uma combinação do tipo
\pi_{1} = F \,\rho^{a}\, v^{b}\, L^{c}.
Queremos que \pi_{1} seja adimensional, isto é, que o produto das dimensões dê M^{0}L^{0}T^{0}.\n
Escrevemos as dimensões de cada fator e somamos expoentes:\n
Dimensões de F: M^{1}L^{1}T^{-2}\n
Dimensões de \rho^{a}: M^{a}L^{-3a}\n
Dimensões de v^{b}: L^{b}T^{-b}\n
Dimensões de L^{c}: L^{c}\n
Somando expoentes para cada grandeza fundamental:\n
  • Para M: 1 + a = 0\n
  • Para T: -2 - b = 0\n
  • Para L: 1 -3a + b + c = 0\n
    Agora resolvemos estas equações:\n
    Da primeira: 1 + a = 0 a = -1.\n
    Da segunda: -2 - b = 0 b = -2.\n
    Da terceira: 1 -3(-1) + (-2) + c = 0. Compute passo a passo: -3(-1)=3, então 1 + 3 -2 + c = 0 implica 2 + c = 0, logo c = -2.\n
    Substituindo a,b,c no \pi_{1} obtemos
\pi_{1} = F\,\rho^{-1}\,v^{-2}\,L^{-2} = \frac{F}{\rho\,v^{2}\,L^{2}}.

Passo 4

Construção do segundo \pi-grupo envolvendo \mu. Assumimos
\pi_{2} = \mu \,\rho^{d}\, v^{e}\, L^{f}.
Repetimos o procedimento dimensional:\n
Dimensões de \mu: M^{1}L^{-1}T^{-1}\n
Dimensões de \rho^{d}: M^{d}L^{-3d}\n
Dimensões de v^{e}: L^{e}T^{-e}\n
Dimensões de L^{f}: L^{f}\n
Somando expoentes:\n
  • Para M: 1 + d = 0\n
  • Para T: -1 - e = 0\n
  • Para L: -1 -3d + e + f = 0\n
    Resolver:\n
    Da primeira: d = -1.\n
    Da segunda: -1 - e = 0 e = -1.\n
    Da terceira: substituindo d=-1 e e=-1: -1 -3(-1) + (-1) + f = 0. Calcule: -3(-1)=3, então -1 + 3 -1 + f = 0 -> 1 + f = 0 -> f = -1.\n
    Assim
\pi_{2} = \mu\,\rho^{-1}\,v^{-1}\,L^{-1} = \frac{\mu}{\rho\,v\,L}.

Passo 5

Interpretação física e forma final da relação adimensional.\n
  • O resultado obtido são dois grupos adimensionais independentes:
    \pi_{1}=\dfrac{F}{\rho v^{2} L^{2}} e \pi_{2}=\dfrac{\mu}{\rho v L}.\n
  • Observações úteis: \pi_{2} é o inverso da familiar razão adimensional chamada número de Reynolds. Em geral define-se o número de Reynolds por
\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\mu},
logo \pi_{2} = \mathrm{Re}^{-1}.\n
  • A relação funcional entre as variáveis fica, segundo o teorema de Buckingham,
\pi_{1} = \Phi(\pi_{2}),
ou explicitamente
\frac{F}{\rho v^{2} L^{2}} = \Phi\!\left(\frac{\mu}{\rho v L}\right),
onde \Phi é uma função adimensional que depende da geometria do corpo e das condições de escoamento. Repare que \mu aparece apenas em \pi_{2}, conforme pedido.

Resposta

\displaystyle \pi_{1}=\frac{F}{\rho\,v^{2}\,L^{2}}\n
\displaystyle \pi_{2}=\frac{\mu}{\rho\,v\,L}

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