Um fluido está passando sobre um corpo sólido. A força “F” exercida sobre o corpo é função da velocidade do fluido 'v", da massa específica do fluido "
", da viscosidade do fluido "
" e de uma dimensão do corpo " L ". por análise dimensional, obter os grupos adimensionais formados pelas variáveis dadas. Faça com que "
" esteja em uma única equação.
Passo 1
O enunciado pede: obter por análise dimensional os grupos adimensionais formados pelas variáveis
. Liste das informações dadas (com as dimensões físicas de cada variável):\n
: força, dimensões
\n
: velocidade, dimensões
\n
: massa específica (densidade), dimensões
\n
: viscosidade dinâmica, dimensões
\n
: dimensão do corpo (comprimento), dimensões
\n
O que se quer: encontrar os grupos adimensionais (os -grupos) formados por essas variáveis, fazendo com que
apareça apenas em uma única equação adimensional.
O que se quer: encontrar os grupos adimensionais (os
Passo 2
Breve explicação da ferramenta que vamos usar: Teorema de Buckingham
.\n
O teorema diz que se temos variáveis físicas que envolvem
dimensões fundamentais (aqui
), então podemos formar
grupos adimensionais independentes chamados
-grupos. Cada
-grupo é uma combinação monomial das variáveis que é adimensional.\n
Aqui e
, portanto teremos
grupos adimensionais independentes.\n
Escolha de variáveis repetidas: para construir os -grupos escolhemos
variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes. Vou escolher
,
e
como repetidas. Razão: elas cobrem as três dimensões
de forma independente (veja abaixo) e não incluímos
para garantir que a viscosidade apareça apenas em um dos
-grupos.
O teorema diz que se temos
Aqui
Escolha de variáveis repetidas: para construir os
Passo 3
Construção do primeiro
-grupo envolvendo
. Assumimos uma combinação do tipo
Queremos que
seja adimensional, isto é, que o produto das dimensões dê
.\n
Escrevemos as dimensões de cada fator e somamos expoentes:\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Somando expoentes para cada grandeza fundamental:\n
Escrevemos as dimensões de cada fator e somamos expoentes:\n
Dimensões de
Dimensões de
Dimensões de
Dimensões de
Somando expoentes para cada grandeza fundamental:\n
- Para
: \n - Para
: \n - Para
: \n
Agora resolvemos estas equações:\n
Da primeira:dá .\n
Da segunda:dá .\n
Da terceira:. Compute passo a passo: , então implica , logo .\n
Substituindono obtemos
Passo 4
Construção do segundo
-grupo envolvendo
. Assumimos
Repetimos o procedimento dimensional:\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Dimensões de :
\n
Somando expoentes:\n
Dimensões de
Dimensões de
Dimensões de
Dimensões de
Somando expoentes:\n
- Para
: \n - Para
: \n - Para
: \n
Resolver:\n
Da primeira:.\n
Da segunda:dá .\n
Da terceira: substituindoe : . Calcule: , então -> -> .\n
Assim
Passo 5
Interpretação física e forma final da relação adimensional.\n
- O resultado obtido são dois grupos adimensionais independentes:
e .\n - Observações úteis:
é o inverso da familiar razão adimensional chamada número de Reynolds. Em geral define-se o número de Reynolds por
logo
.\n
- A relação funcional entre as variáveis fica, segundo o teorema de Buckingham,
ou explicitamente
onde
é uma função adimensional que depende da geometria do corpo e das condições de escoamento. Repare que
aparece apenas em
, conforme pedido.