Suponha um sinal x(t) com Transformada de Fourier X(j omega), dos quais temos as seguintes informações:
(a) x(t) é real
(b) x(t)=0 para t <= 0
© 12 pi integral-infty^infty Re eX(j omega) e^j omega t d omega=|t| e^-|t|
Determine x(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o sinal com algumas propriedades específicas da sua Transformada de Fourier . Vamos precisar usar conceitos de Transformada de Fourier, propriedades de sinais reais e entender como reconstruir o sinal a partir de partes real e imaginária da transformada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, sabemos que X(-jomega) = X(jomega) é um sinal real. Isso significa que a Transformada de Fourier de tem uma propriedade especial: sua parte imaginária é ímpar e a parte real é par. Em termos matemáticos:
Isso nos ajuda a relacionar para positivo e negativo.

Passo 3

Além disso, o enunciado diz que para . Isso implica que é um sinal causal. Para sinais causais, a Transformada de Fourier tem certas propriedades que podem ser exploradas, como o fato de que a parte real e imaginária são relacionadas de uma forma que facilita a determinação de .

Passo 4

A parte mais direta do enunciado é a integral fornecida:
12pi integral-infty^infty ReX(jomega) e^jomega t , domega = |t| e^-|t|
Aqui, representa a parte real da Transformada de Fourier. Essa integral nos dá a parte real do sinal , que já sabemos que é .

Passo 5

Como é real, a parte imaginária da Transformada de Fourier está relacionada à parte real. No entanto, devido à causalidade de , e como para , a parte imaginária também será determinada de maneira a satisfazer essas condições.

Passo 6

Para reconstruir x(t) = 12pi integral-infty^infty X(jomega) e^jomega t , domega , podemos usar a Transformada Inversa de Fourier, que diz:
Sabemos que apenas a parte real está dada e que é causal. Então, podemos assumir que a parte imaginária será tal que o sinal resultante seja real e causal.

Passo 7

Dado que a parte real da transformada já nos dá x(t) = t e^-t para t > 0 e sabendo que é zero para , a função completa será simplesmente:
Essa é a forma final do sinal que satisfaz todas as condições dadas no exercício.

Resposta

x(t) = t, e^-t para t > 0

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