Considere sobre o conjunto Z, a seguinte relação equiv(bmod 5), definida por
x equiv y (bmod 5) se e somente se 5 mid(x-y)
ou, de modo equivalente,
x equiv y (bmod 5) se, e somente se, existe k in Z tal que x-y=5 k
Mostre que equiv(bmod 5) é uma relação de equivalência e determine todas as classes de equivalência do conjunto quociente Z /(equiv(bmod 5)).

Passo 1

O enunciado define em Z a relação
x equiv y pmod5
se, e somente se, existe kinZ tal que x - y = 5k.
Queremos mostrar que essa relação é de equivalência (ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever todas as classes de equivalência em Z/(equivpmod5).

Passo 2

Verificamos a reflexividade. Para todo xinZ temos x - x = 0 e 5mid 0. Logo
x equiv x pmod5,
mostrando que a relação é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria. Se x equiv y pmod5, então 5mid(x-y). Mas aí também 5mid(y-x), pois y-x=-(x-y). Portanto
y equiv x pmod5,
e a relação é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade. Se x equiv y pmod5 e y equiv z pmod5, então 5mid(x-y) e 5mid(y-z). Somando, 5mid[(x-y)+(y-z)]=x-z. Logo
x equiv z pmod5,
e a relação é transitiva.

Passo 5

Como é reflexiva, simétrica e transitiva, equivpmod5 é de equivalência. As classes de equivalência são exatamente as cinco classes de restos ao dividir por 5, a saber:
[0]=5k:kinZ, [1]=5k+1:kinZ, [2]=5k+2:kinZ, [3]=5k+3:kinZ, [4]=5k+4:kinZ

Resposta

As classes de equivalência em Z/(equivpmod5) são
[0], [1], [2], [3], [4],
com cada [r]=5k+r:kinZ para r=0,1,2,3,4.

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