Considere sobre o conjunto
, a seguinte relação
, definida por
ou, de modo equivalente,
Mostre que
é uma relação de equivalência e determine todas as classes de equivalência do conjunto quociente
.
Passo 1
O enunciado define em
a relação
se, e somente se, existe
tal que
.
Queremos mostrar que essa relação é de equivalência (ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever todas as classes de equivalência em .
Queremos mostrar que essa relação é de equivalência (ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever todas as classes de equivalência em
Passo 2
Verificamos a reflexividade. Para todo
temos
e
. Logo
mostrando que a relação é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria. Se
, então
. Mas aí também
, pois
. Portanto
e a relação é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade. Se
e
, então
e
. Somando,
. Logo
e a relação é transitiva.
Passo 5
Como é reflexiva, simétrica e transitiva,
é de equivalência. As classes de equivalência são exatamente as cinco classes de restos ao dividir por
, a saber:
Resposta
As classes de equivalência em
são
com cada
para
.