Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
O conjunto
S=in C^2(R) ; f^prime prime-f=0
(conjunto das soluções desta EDO de segunda

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = ,fin C^2(R) mid f'' - f = 0
é subespaço vetorial de C^2(R).
Conteúdo: uso da definição de subespaço (conter o zero, fechamentos sob soma e multiplicação por escalar) e a linearidade do operador diferencial L(f)=f''-f.

Passo 2

Verificamos se a função zero f0(x)=0 pertence a S. Como
f0''(x)-f0(x)=0-0=0,
segue f0in S.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam f,gin S. Então
(f+g)'' - (f+g) = f'' + g'' - f - g = (f''-f) + (g''-g) = 0 + 0 =0
Logo f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e fin S. Então
(alpha f)'' - (alpha f) = alpha f'' - alpha f = alpha,(f''-f) = alphacdot 0 =0
Logo alpha fin S.

Passo 5

Como S contém o zero e é fechado sob soma e produto por escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de C^2(R). De fato, sabe-se ainda que as soluções de f''-f=0 formam um espaço de dimensão 2, com base por exemplo
e^x,;e^-x

Resposta

S é subespaço vetorial de C^2(R), de dimensão 2, gerado por e^x,e^-x.

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