Seja
o conjunto dos números complexos. Sejam
tais que
e
. Considere a relação
sobre
dada por
Mostre que
é uma relação de ordem parcial sobre
.
Passo 1
O enunciado define em
a relação
por
onde
e
. Para mostrar que
é ordem parcial, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: seja
. Como
e
(qualquer número real é menor ou igual a si mesmo), segue que
Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Agora a antissimetria: suponha
e
. Então
Da combinação
e
obtemos
; de
e
obtemos
. Portanto
, ou seja, sempre que
e
ocorre, de fato
. Assim,
é antissimétrica.
Passo 4
Por fim, a transitividade: sejam
,
e
em
tais que
e
. Então
Pela transitividade da ordem em
temos
e
. Logo
Isso mostra que
é transitiva.
Resposta
A relação
satisfaz reflexividade, antissimetria e transitividade, logo é uma ordem parcial sobre
.