Seja C o conjunto dos números complexos. Sejam x, y in C tais que x=a+b i e y=c+d i. Considere a relação Rp sobre C dada por
x Rp y se, e somente se, a <= c e b <= d
Mostre que Rp é uma relação de ordem parcial sobre C.

Passo 1

O enunciado define em C a relação Rp por
x Rp y se, e somente se, a <= c e b <= d,
onde x=a+bi e y=c+di. Para mostrar que Rp é ordem parcial, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.

Passo 2

Verificamos a reflexividade: seja x=a+biinC. Como a<= a e b<= b (qualquer número real é menor ou igual a si mesmo), segue que
x Rp x
Logo, Rp é reflexiva.

Passo 3

Agora a antissimetria: suponha x Rp y e y Rp x. Então
a <= c, b <= d,
c <= a, d <= b
Da combinação a<= c e c<= a obtemos a=c; de b<= d e d<= b obtemos b=d. Portanto x=a+bi = c+di = y, ou seja, sempre que x Rp y e y Rp x ocorre, de fato x=y. Assim, Rp é antissimétrica.

Passo 4

Por fim, a transitividade: sejam x=a+bi, y=c+di e z=e+fi em C tais que x Rp y e y Rp z. Então
a <= c, b <= d,
c <= e, d <= f
Pela transitividade da ordem em R temos a <= e e b <= f. Logo
x Rp z
Isso mostra que Rp é transitiva.

Resposta

A relação Rp satisfaz reflexividade, antissimetria e transitividade, logo é uma ordem parcial sobre C.

Exercícios relacionados