Considere sobre \mathbb{R} a métrica definida por \alpha(x, y)=\min \{1,|x-y|\}. Ache as bolas abertas B\left(0, \frac{1}{2}\right) e B(0,3). Faça o mesmo considerando a métrica \beta(x, y)=\sqrt{|x-y|}.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar as bolas abertas centradas em 0 com dois raios diferentes para duas métricas distintas sobre \mathbb{R}. Mais precisamente, devemos achar:
B_\alpha\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right),\quad B_\alpha(0,3)
onde a métrica é \alpha(x,y)=\min\{1,|x-y|\}, e
B_\beta\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right),\quad B_\beta(0,3)
onde a métrica é \beta(x,y)=\sqrt{|x-y|}.
Informações dadas:
\alpha(x,y)=\min\{1,|x-y|\},\qquad \beta(x,y)=\sqrt{|x-y|}.
As bolas abertas são definidas, em qualquer métrica d, por
B_d(a,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid d(x,a)<r\}.

Passo 2

Lembrete útil (passo-a-passo): para decidir se x pertence a uma bola B_d(0,r) precisamos verificar a condição d(x,0)<r. No nosso caso faremos isso separando os casos que a própria fórmula da métrica impõe (por exemplo, \alpha muda de expressão quando |x-y|<1 ou não) ou manipulando a desigualdade (por exemplo, ao ter uma raiz quadrada em \beta). Vou explicar cada manipulação com calma.

Passo 3

Estudo da métrica \alpha\). Observação chave: para quaisquer \(x,y\in\mathbb{R}\), \[\alpha(x,y)=\begin{cases} |x-y|, & \text{se }|x-y|<1,\\[4pt] 1, & \text{se }|x-y|\ge 1. \end{cases}
Isto é porque a função \min\{1,|x-y|\}\] escolhe \(|x-y| quando este for menor que 1, e escolhe 1 caso contrário. Vamos usar isso para testar a condição \alpha(x,0)<r.]

Passo 4

Calcular B_\alpha\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right). Queremos os x tais que \alpha(x,0)<\tfrac{1}{2}.
  • Se |x|<1, então \alpha(x,0)=|x|. A condição fica |x|<\tfrac{1}{2}.
  • Se |x|\ge 1, então \alpha(x,0)=1, e 1<\tfrac{1}{2} é falso, logo esses x não pertencem à bola.
Portanto os x que satisfazem são exatamente os que verificam |x|<\tfrac{1}{2}. Em notação de intervalo,
B_\alpha\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Calcular B_\alpha(0,3). Queremos \alpha(x,0)<3. Note que, para todo x\in\mathbb{R}, temos \alpha(x,0)\le 1 (pela definição da métrica \alpha). Como 1<3, a desigualdade \alpha(x,0)<3 é satisfeita por todo x\in\mathbb{R}. Logo
B_\alpha(0,3)=\mathbb{R}.
Comentário intuitivo: a métrica \alpha “satura” em 1, então qualquer bola de raio maior que 1 contém todo o espaço.

Passo 6

Estudo da métrica \beta. Aqui \beta(x,y)=\sqrt{|x-y|}. Para testar x\in B_\beta(0,r) resolvemos \sqrt{|x|}<r. Como \sqrt{\cdot} é não-negativa e estritamente crescente no domínio [0,\infty), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim \sqrt{|x|}<r é equivalente a |x|<r^2. Vou aplicar isso aos casos pedidos.

Passo 7

Calcular B_\beta\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right). Começamos com
\sqrt{|x|}<\tfrac{1}{2}.
Elevando ao quadrado (válido porque ambos os lados são não-negativos) obtemos
|x|<\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.
Logo, em intervalo,
B_\beta\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right).

Passo 8

Calcular B_\beta(0,3). Partimos de
\sqrt{|x|}<3.
Elevando ao quadrado resulta
|x|<3^2=9.
Portanto
B_\beta(0,3)=(-9,9).

Resposta

B_\alpha\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)
B_\alpha(0,3)=\mathbb{R}
B_\beta\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)
B_\beta(0,3)=(-9,9)

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