Considere sobre
a métrica definida por
. Ache as bolas abertas
e
. Faça o mesmo considerando a métrica
.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar as bolas abertas centradas em
com dois raios diferentes para duas métricas distintas sobre
. Mais precisamente, devemos achar:
onde a métrica é
, e
onde a métrica é
.
Informações dadas:
As bolas abertas são definidas, em qualquer métrica
, por
Passo 2
Lembrete útil (passo-a-passo): para decidir se
pertence a uma bola
precisamos verificar a condição
. No nosso caso faremos isso separando os casos que a própria fórmula da métrica impõe (por exemplo,
muda de expressão quando
ou não) ou manipulando a desigualdade (por exemplo, ao ter uma raiz quadrada em
). Vou explicar cada manipulação com calma.
Passo 3
Estudo da métrica
Isto é porque a função
quando este for menor que
, e escolhe
caso contrário. Vamos usar isso para testar a condição
.]
Passo 4
Calcular
. Queremos os
tais que
.
- Se
, então . A condição fica . - Se
, então , e é falso, logo esses não pertencem à bola.
Portanto os
que satisfazem são exatamente os que verificam
. Em notação de intervalo,
Passo 5
Calcular
. Queremos
. Note que, para todo
, temos
(pela definição da métrica
). Como
, a desigualdade
é satisfeita por todo
. Logo
Comentário intuitivo: a métrica
“satura” em
, então qualquer bola de raio maior que
contém todo o espaço.
Passo 6
Estudo da métrica
. Aqui
. Para testar
resolvemos
. Como
é não-negativa e estritamente crescente no domínio
, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim
é equivalente a
. Vou aplicar isso aos casos pedidos.
Passo 7
Calcular
. Começamos com
Elevando ao quadrado (válido porque ambos os lados são não-negativos) obtemos
Logo, em intervalo,
Passo 8
Calcular
. Partimos de
Elevando ao quadrado resulta
Portanto