Mostre que o conjunto
é um subconjunto aberto do espaço
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que é pedido: mostrar que
é um subconjunto aberto de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há outras hipóteses ocultas no enunciado (por exemplo, a norma usada é a norma euclidiana padrão, que é a usual em
).
Passo 2
Definição que vamos usar (explicação didática): um subconjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta centrada em
de raio
fica inteiramente contida em
. Escrevendo em símbolos:
onde
é a norma euclidiana de um vetor
, dada por
Vou explicar também um fato útil: para quaisquer
vale
Isto porque
Esse fato diz, em palavras, que a diferença em uma coordenada não pode ser maior do que a distância euclidiana total.
Passo 3
Agora comece a prova propriamente: escolha um ponto arbitrário
. Pelo enunciado sabemos que
.
Como queremos encontrar uma bola centrada em
contida em
, definimos um raio positivo baseado em
. Uma escolha simples e eficaz é
Note que
porque
.
Passo 4
Mostramos que a bola
está contida em
. Tome um ponto qualquer
. Isso significa que
.
Usando o fato do Passo 2 temos
Da desigualdade acima obtemos
Portanto
, o que mostra que
.
Como
foi um ponto arbitrário de
, concluímos que
Passo 5
Concluímos a prova: mostramos que para cada
existe
(escolhemos
) tal que
. Isso significa que todo ponto de
é um ponto interior de
, logo
é um conjunto aberto em
.
Exemplo para intuição rápida: no caso
temos
, e para um ponto
a escolha
dá o intervalo
todo dentro de
, o que coincide com a ideia usada no caso geral.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.