Mostre que o conjunto G=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R} \mid x_{1}>0\right\} é um subconjunto aberto do espaço \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
G=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\mid x_{1}>0\}.
O que é pedido: mostrar que G é um subconjunto aberto de \mathbb{R}^{n}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{cada ponto de }G\text{ é um vetor }x=(x_{1},\ldots,x_{n})\text{ com }x_{1}>0.é
Não há outras hipóteses ocultas no enunciado (por exemplo, a norma usada é a norma euclidiana padrão, que é a usual em \mathbb{R}^{n}).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicação didática): um subconjunto U\subset\mathbb{R}^{n} é aberto se, para todo ponto x\in U, existe um raio r>0 tal que a bola aberta centrada em x de raio r fica inteiramente contida em U. Escrevendo em símbolos:
B_{r}(x)=\{y\in\mathbb{R}^{n}\mid \|y-x\|<r\},
onde \|v\| é a norma euclidiana de um vetor v=(v_{1},\dots,v_{n}), dada por
\|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}.
Vou explicar também um fato útil: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}^{n} vale
|y_{1}-x_{1}|\le \|y-x\|.
Isto porque
\|y-x\|=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots+(y_{n}-x_{n})^{2}}\ge\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}}=|y_{1}-x_{1}|.
Esse fato diz, em palavras, que a diferença em uma coordenada não pode ser maior do que a distância euclidiana total.

Passo 3

Agora comece a prova propriamente: escolha um ponto arbitrário x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in G. Pelo enunciado sabemos que \;x_{1}>0.
Como queremos encontrar uma bola centrada em x contida em G, definimos um raio positivo baseado em x_{1}. Uma escolha simples e eficaz é
r=\frac{x_{1}}{2}.
Note que r>0 porque x_{1}>0.

Passo 4

Mostramos que a bola B_{r}(x) está contida em G. Tome um ponto qualquer y=(y_{1},\ldots,y_{n})\in B_{r}(x). Isso significa que \|y-x\|<r.
Usando o fato do Passo 2 temos
|y_{1}-x_{1}|\le\|y-x\|<r=\frac{x_{1}}{2}.
Da desigualdade acima obtemos
y_{1}>x_{1}-\frac{x_{1}}{2}=\frac{x_{1}}{2}>0.
Portanto y_{1}>0, o que mostra que y\in G.
Como y foi um ponto arbitrário de B_{r}(x), concluímos que
B_{r}(x)\subset G.

Passo 5

Concluímos a prova: mostramos que para cada x\in G existe r>0 (escolhemos r=x_{1}/2) tal que B_{r}(x)\subset G. Isso significa que todo ponto de G é um ponto interior de G, logo G é um conjunto aberto em \mathbb{R}^{n}.
Exemplo para intuição rápida: no caso n=1 temos G=(0,\infty), e para um ponto x_{1}>0 a escolha r=x_{1}/2 dá o intervalo (x_{1}-r,x_{1}+r)=(x_{1}/2,3x_{1}/2) todo dentro de (0,\infty), o que coincide com a ideia usada no caso geral.

Resposta

O conjunto G é aberto em \mathbb{R}^{n}.

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