Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(n)=n+1, se n \in \mathbb{N}, e f(x)=x para todo x \notin N. Mostre que f é contínua nos pontos de \mathbb{R} \backslash \mathbb{N} mas não é contínua em \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(n)=n+1\quad\text{se }n\in\mathbb{N},
e
f(x)=x\quad\text{se }x\notin\mathbb{N}.
O que se pede: mostrar que f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}\setminus\mathbb{N} e que f não é contínua em nenhum ponto de \mathbb{N}.

Passo 2

Vou recordar duas formas equivalentes de definir continuidade num ponto x_0:
  1. Definição \varepsilon- \delta: dizemos que f é contínua em x_0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-x_0|<\delta temos |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
    Aqui \varepsilon é o quanto aceitamos de diferença no valor da função e \delta é o raio em torno de x_0 dentro do qual todos os pontos têm imagem pertinha de f(x_0).
  2. Critério sequencial: f é contínua em x_0 se, e só se, para toda sequência (x_k) com x_k\to x_0 (e x_k\neq x_0 possivelmente), temos f(x_k)\to f(x_0).
    Esse critério é muito prático para mostrar descontinuidade: basta encontrar uma sequência convergente a x_0 cujas imagens não convergem para f(x_0).
Vou usar uma ideia de vizinhança (distância ao conjunto \mathbb{N}) para provar continuidade fora de \mathbb{N} e o critério sequencial para mostrar a descontinuidade em pontos de \mathbb{N}. Escolhi isso porque fora de \mathbb{N} a função coincide com a identidade numa pequena vizinhança — então fica fácil pelo argumento \varepsilon- \delta — e em pontos de \mathbb{N} é fácil construir uma sequência que aproxima o inteiro sem nunca ser inteiro, mostrando a quebra.

Passo 3

Provar que f é contínua em um ponto fixo x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}.
Escolha um x_0 que não seja natural. Defina a distância do ponto x_0 ao conjunto \mathbb{N} por
d := \inf_{n\in\mathbb{N}} |x_0 - n|.
Primeiro argumento que d>0. A razão: a sequência |x_0-n| (com n\in\mathbb{N}) tende a +\infty quando n\to\infty, logo existe um N tal que para n\ge N temos |x_0-n|>1. Assim o mínimo da coleção \{|x_0-n|:n\in\mathbb{N}\} ocorre entre os primeiros N-1 termos (um conjunto finito) e portanto esse mínimo existe e é positivo, pois x_0 não é igual a nenhum n. Concluímos d>0.
Agora tome
\delta := \frac{d}{2} > 0.
Se |x-x_0|<\delta então, para qualquer n\in\mathbb{N},
|x-n|\ge |x_0-n|-|x-x_0|\ge d-\delta = \frac{d}{2}>0,
logo x\neq n para todo n\in\mathbb{N}. Portanto todo ponto x com |x-x_0|<\delta também não pertence a \mathbb{N}, e assim, por definição de f,
f(x)=x\quad\text{e}\quad f(x_0)=x_0.
Agora, dado \varepsilon>0, escolha \delta' := \min\{\delta,\varepsilon\}. Se |x-x_0|<\delta' então
|f(x)-f(x_0)| = |x-x_0| < \varepsilon.
Isto é exatamente a condição \varepsilon- \delta de continuidade em x_0. Conclusão: f é contínua em x_0. Como x_0 foi um ponto arbitrário de \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}, f é contínua em todo \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}.
(Dica intuitiva: a função só altera valores para pontos que são exatamente naturais; se você está fora das naturais, existe sempre uma bolinha ao redor que não toca nenhuma natural, então ali a função é só a identidade.)

Passo 4

Provar que f não é contínua em um ponto n\in\mathbb{N}.
Fixe um natural n. Considere a sequência
x_k := n - \frac{1}{k},\qquad k=1,2,3,\dots
Cada x_k é real e, para k\ge 2, x_k\notin\mathbb{N} (porque são não inteiros). Essa sequência satisfaz x_k\to n quando k\to\infty.
Como x_k\notin\mathbb{N} temos f(x_k)=x_k para todo k, portanto
\lim_{k\to\infty} f(x_k) = \lim_{k\to\infty} x_k = n.
Por outro lado, pelo enunciado, f(n)=n+1. Assim
\lim_{k\to\infty} f(x_k) = n \neq n+1 = f(n).
Pelo critério sequencial de continuidade, se f fosse contínua em n então para qualquer sequência x_k\to n deveríamos ter f(x_k)\to f(n). Encontramos uma sequência convergente a n cuja imagem não converge a f(n); logo f não é contínua em n.
Alternativa com \varepsilon- \delta: tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Para qualquer \delta>0 existe k grande com 0<|x_k-n|<\delta e então |f(x_k)-f(n)| = |x_k-(n+1)| \ge 1 - |x_k-n|. Para k grande essa diferença permanece próxima de 1, maior que \tfrac{1}{2}. Assim não existe \delta que funcione para \varepsilon=\tfrac{1}{2}, outra forma de ver a descontinuidade.

Passo 5

Exemplo numérico rápido só para visualizar: escolha n=2. Temos f(2)=3. Pegue x_k=2-\tfrac{1}{k}. Então x_k\to 2 e f(x_k)=x_k\to 2, diferente de f(2)=3. Esse choque mostra a descontinuidade em 2. Mesma ideia vale para qualquer n\in\mathbb{N}.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}.\n f não é contínua em \mathbb{N}.

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