Seja
definida por
, se
, e
para todo
. Mostre que
é contínua nos pontos de
mas não é contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e
O que se pede: mostrar que
é contínua em todo ponto de
e que
não é contínua em nenhum ponto de
.
Passo 2
Vou recordar duas formas equivalentes de definir continuidade num ponto
:
-
Definição
- : dizemos que é contínua em se, para todo , existe tal que sempre que temos .
Aquié o quanto aceitamos de diferença no valor da função e é o raio em torno de dentro do qual todos os pontos têm imagem pertinha de . -
Critério sequencial:
é contínua em se, e só se, para toda sequência com (e possivelmente), temos .
Esse critério é muito prático para mostrar descontinuidade: basta encontrar uma sequência convergente acujas imagens não convergem para .
Vou usar uma ideia de vizinhança (distância ao conjunto
) para provar continuidade fora de
e o critério sequencial para mostrar a descontinuidade em pontos de
. Escolhi isso porque fora de
a função coincide com a identidade numa pequena vizinhança — então fica fácil pelo argumento
-
— e em pontos de
é fácil construir uma sequência que aproxima o inteiro sem nunca ser inteiro, mostrando a quebra.
Passo 3
Provar que
é contínua em um ponto fixo
.
Escolha um
que não seja natural. Defina a distância do ponto
ao conjunto
por
Primeiro argumento que
. A razão: a sequência
(com
) tende a
quando
, logo existe um
tal que para
temos
. Assim o mínimo da coleção
ocorre entre os primeiros
termos (um conjunto finito) e portanto esse mínimo existe e é positivo, pois
não é igual a nenhum
. Concluímos
.
Agora tome
Se
então, para qualquer
,
logo
para todo
. Portanto todo ponto
com
também não pertence a
, e assim, por definição de
,
Agora, dado
, escolha
. Se
então
Isto é exatamente a condição
-
de continuidade em
. Conclusão:
é contínua em
. Como
foi um ponto arbitrário de
,
é contínua em todo
.
(Dica intuitiva: a função só altera valores para pontos que são exatamente naturais; se você está fora das naturais, existe sempre uma bolinha ao redor que não toca nenhuma natural, então ali a função é só a identidade.)
Passo 4
Provar que
não é contínua em um ponto
.
Fixe um natural
. Considere a sequência
Cada
é real e, para
,
(porque são não inteiros). Essa sequência satisfaz
quando
.
Como
temos
para todo
, portanto
Por outro lado, pelo enunciado,
. Assim
Pelo critério sequencial de continuidade, se
fosse contínua em
então para qualquer sequência
deveríamos ter
. Encontramos uma sequência convergente a
cuja imagem não converge a
; logo
não é contínua em
.
Alternativa com
-
: tome
. Para qualquer
existe
grande com
e então
. Para
grande essa diferença permanece próxima de
, maior que
. Assim não existe
que funcione para
, outra forma de ver a descontinuidade.
Passo 5
Exemplo numérico rápido só para visualizar: escolha
. Temos
. Pegue
. Então
e
, diferente de
. Esse choque mostra a descontinuidade em
. Mesma ideia vale para qualquer
.