Considere o sólido delimitado inferiormente por
e superiormente por
. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado por baixo pelo paraboloide z = 2x² + 2y² e por cima pela esfera x² + y² + z² = 3, usando integrais triplas em três sistemas de coordenadas diferentes. Vamos usar conteúdo de integrais múltiplas e mudanças de variáveis (Cartesiano, Cilíndrico e Esférico).
Passo 2
Em coordenadas cartesianas a ideia é escrever
uma integral tripla direta: V = ∬∫ dz dy dx. Primeiro projetamos o sólido no plano xy achando onde o paraboloide fica abaixo da esfera:
uma integral tripla direta: V = ∬∫ dz dy dx. Primeiro projetamos o sólido no plano xy achando onde o paraboloide fica abaixo da esfera:
2(x²+y²) ≤ √(3−(x²+y²)) ⇒ x²+y² ≤ 3/4.
Logo x varia de −√(3/4) a +√(3/4), y de −√(3/4 − x²) a +√(3/4 − x²), e para cada (x,y) z varia de 2x²+2y² até √(3 − x² − y²).
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas lembramos que x = r cosθ, y = r sinθ, z = z e o elemento de volume é r dz dr dθ. Como x²+y² = r², as mesmas superfícies ficam z = 2r² e z = √(3−r²). O raio r vai de 0 a √(3/4) e θ de 0 a 2π.
Passo 4
Em coordenadas esféricas usamos x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ e o elemento de volume é ρ² sinφ dρ dφ dθ. A esfera é ρ = √3, e o paraboloide vira ρ cosφ = 2 ρ² sin²φ ⇒ ρ = (cosφ)/(2 sin²φ). Essas duas superfícies se encontram quando cosφ/√3 = 2 sin²φ, o que dá φ = π/6. Logo θ ∈ [0,2π], φ ∈ [0,π/6], e ρ de (cosφ)/(2 sin²φ) até √3.
Resposta
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas: