Considere o sólido delimitado inferiormente por z=2 x^2+2 y^2 e superiormente por x^2+y^2+z^2=3. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por baixo pelo paraboloide z = 2x² + 2y² e por cima pela esfera x² + y² + z² = 3, usando integrais triplas em três sistemas de coordenadas diferentes. Vamos usar conteúdo de integrais múltiplas e mudanças de variáveis (Cartesiano, Cilíndrico e Esférico).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas a ideia é escrever
uma integral tripla direta: V = ∬∫ dz dy dx. Primeiro projetamos o sólido no plano xy achando onde o paraboloide fica abaixo da esfera:
2(x²+y²) ≤ √(3−(x²+y²)) ⇒ x²+y² ≤ 3/4.
Logo x varia de −√(3/4) a +√(3/4), y de −√(3/4 − x²) a +√(3/4 − x²), e para cada (x,y) z varia de 2x²+2y² até √(3 − x² − y²).

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas lembramos que x = r cosθ, y = r sinθ, z = z e o elemento de volume é r dz dr dθ. Como x²+y² = r², as mesmas superfícies ficam z = 2r² e z = √(3−r²). O raio r vai de 0 a √(3/4) e θ de 0 a 2π.

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ e o elemento de volume é ρ² sinφ dρ dφ dθ. A esfera é ρ = √3, e o paraboloide vira ρ cosφ = 2 ρ² sin²φ ⇒ ρ = (cosφ)/(2 sin²φ). Essas duas superfícies se encontram quando cosφ/√3 = 2 sin²φ, o que dá φ = π/6. Logo θ ∈ [0,2π], φ ∈ [0,π/6], e ρ de (cosφ)/(2 sin²φ) até √3.

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
V = integralx=-raiz3/4^raiz3/4 integraly=-raiz3/4 - x^2^raiz3/4 - x^2 integralz=2x^2+2y^2^raiz3 - x^2 - y^2 dz,dy,dx
Em coordenadas cilíndricas:
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz3/4 integralz=2r^2^raiz3 - r^2 r,dz,dr,dtheta
Em coordenadas esféricas:
V = integraltheta=0^2pi integralvarphi=0^pi/6 integralrho=cosvarphi2sin^2varphi^raiz3 rho^2,sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

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