Considere o sólido delimitado inferiormente por
, superiormente por
e lateralmente pelo cilindro que contorna a região delimitada por
e
. Calcule a massa deste sólido, sabendo que sua densidade é dada por
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a massa de um sólido cuja densidade é f(x,y,z)=2y+z, limitado inferiormente pelo plano y+2z=6, superiormente pelo plano z=6 e lateralmente pelo cilindro que na projeção no plano xy corresponde à região entre y=x² e y=4. Identificação da projeção no plano xy: note que o sólido é formado sobre a região D={(x,y): x²≤y≤4} no plano xy. Determinação dos limites em z: a face inferior satisfaz y+2z=6, ou seja z₁=(6−y)/2, e a face superior é z₂=6. Assim, para cada (x,y) em D temos (6−y)/2≤z≤6.
Passo 2
Montagem da integral de massa: a massa é dada por ∭_V(2y+z)dV, que em coordenadas cartesianas fica
Passo 3
Cálculo da integral interna em z:
Passo 4
Integração em x: como o intervalo em x tem comprimento 2√y, obtemos
Passo 5
Integração em y: desenvolvendo e integrando de y=0 a 4, chegamos a
Resposta
400