Considere o sólido delimitado inferiormente por y+2 z=6, superiormente por z=6 e lateralmente pelo cilindro que contorna a região delimitada por y=x^2 e y=4. Calcule a massa deste sólido, sabendo que sua densidade é dada por f(x, y, z)=2 y+z.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a massa de um sólido cuja densidade é f(x,y,z)=2y+z, limitado inferiormente pelo plano y+2z=6, superiormente pelo plano z=6 e lateralmente pelo cilindro que na projeção no plano xy corresponde à região entre y=x² e y=4. Identificação da projeção no plano xy: note que o sólido é formado sobre a região D={(x,y): x²≤y≤4} no plano xy. Determinação dos limites em z: a face inferior satisfaz y+2z=6, ou seja z₁=(6−y)/2, e a face superior é z₂=6. Assim, para cada (x,y) em D temos (6−y)/2≤z≤6.

Passo 2

Montagem da integral de massa: a massa é dada por ∭_V(2y+z)dV, que em coordenadas cartesianas fica
integraly=0^4integralx=-raiz y^raiz yintegralz=(6-y)/2^6(2y+z),dz,dx,dy

Passo 3

Cálculo da integral interna em z:
integralz=(6-y)/2^6(2y+z)dz=l[2y z+tfracz^22r](6-y)/2^6=152y+78y^2+272

Passo 4

Integração em x: como o intervalo em x tem comprimento 2√y, obtemos
integralx=-raiz y^raiz yl(152y+78y^2+272r)dx=2raiz yl(152y+78y^2+272r)

Passo 5

Integração em y: desenvolvendo e integrando de y=0 a 4, chegamos a
integral0^4l(15y^3/2+tfrac74y^5/2+27y^1/2r)dy=400

Resposta

400

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