Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies xa+yb+zc=1, x=0, y=0 e z=0, com a, b, c>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (x, y, z ≥ 0) limitado pelo plano xa+yb+zc=1 com constantes positivas a, b, c>0. Vamos usar método de integração tripla para volumes.

Passo 2

Para montar a integral tripla, observamos que, para dados x e y, o valor de z varia de 0 até cl(1 - xa - ybr). Assim:
V = integralx=0^a integraly=0^b(1 - x/a) integralz=0^c(1 - x/a - y/b) dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em z:
integralz=0^c(1 - x/a - y/b) dz = cl(1 - xa - ybr)
Então
V = integral0^a integral0^b(1 - x/a) cl(1 - xa - ybr) dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^b(1 - x/a) l(1 - xa - ybr) dy = l(1 - xar)y - y^22b |0^b(1 - x/a)
Substituindo o limite y = b(1 - x/a)
l(1 - xar) bl(1 - xar) - [b(1 - x/a)]^22b = b2l(1 - xar)^2
Portanto
V = c integral0^a b2l(1 - xar)^2 dx = bc2 integral0^a l(1 - xar)^2 dx

Passo 5

Falta só integrar em x. Fazendo a mudança u = 1 - x/a, quando x=0 temos u=1 e quando x=a temos u=0. Além disso dx = -a,du. Então
integral0^a l(1 - xar)^2 dx = a integralu=1^0 u^2(-du) = a integral0^1 u^2 du = a cdot 13
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V = bc2 cdot a3 = abc6

Resposta

V = \frac{abc}{6}

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