Considere o sólido delimitado lateralmente pelos planos
e
, inferiormente pelo plano
e superiormente pelo plano
. Escreva a integral tripla que permita calcular o volume desse sólido em três ordem distintas: dzdA, dydA, dxdA.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um sólido definido por alguns planos: os planos laterais
e
, o plano de baixo
e o plano de cima
. Nosso objetivo é escrever a integral tripla que calcula o volume desse sólido, e vamos fazer isso de três jeitos diferentes: integrando primeiro em
, depois em
, e por último em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada ordem e usar um pouco de geometria dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. Os planos
e
são os planos coordenados que formam o primeiro octante (onde
,
,
são não negativos). O plano de cima
intercepta os eixos em
,
e
. Isso forma um tetraedro no primeiro octante.
Passo 3
Para montar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para cada variável dependendo da ordem de integração escolhida. Vamos começar com a ordem
, onde integramos primeiro em
, depois nas outras variáveis.
Passo 4
Na ordem
, fixamos
e
e integramos em
. Como
vai de
até
, isolando
, temos
. Então, os limites para
são de
a
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites para
e
. A projeção do sólido no plano
é a região onde
, com
e
. Resolvendo para
, temos
. Então, para cada
entre
e
,
vai de
a
.
Passo 6
Agora podemos escrever a integral tripla na ordem
:
Passo 7
Vamos agora fazer na ordem
, onde integramos primeiro em
, depois nas outras variáveis. Para isso, fixamos
e
, e determinamos os limites para
. A condição
dá
. Assim,
vai de
a
.
Passo 8
Os limites para
dependem de
. Como
vai de
até
, para cada
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 9
Então, a integral tripla na ordem
fica:
Passo 10
Por último, vamos fazer na ordem
, onde integramos primeiro em
, depois nas outras variáveis. Fixando
e
, a condição
dá
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 11
Os limites para
são de
a
, e para
vão de
a
.
Passo 12
Assim, a integral tripla na ordem
é:
Resposta
As integrais triplas para calcular o volume são: