Considere o sólido delimitado lateralmente pelos planos x=0 e y=0, inferiormente pelo plano z=0 e superiormente pelo plano 3 x+2 y+z=1. Escreva a integral tripla que permita calcular o volume desse sólido em três ordem distintas: dzdA, dydA, dxdA.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um sólido definido por alguns planos: os planos laterais x=0 e y=0, o plano de baixo z=0 e o plano de cima 3x + 2y + z = 1. Nosso objetivo é escrever a integral tripla que calcula o volume desse sólido, e vamos fazer isso de três jeitos diferentes: integrando primeiro em z, depois em y, e por último em x. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada ordem e usar um pouco de geometria dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. Os planos x=0 e y=0 são os planos coordenados que formam o primeiro octante (onde x, y, z são não negativos). O plano de cima 3x + 2y + z = 1 intercepta os eixos em (13,0,0), (0,12,0) e (0,0,1). Isso forma um tetraedro no primeiro octante.

Passo 3

Para montar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para cada variável dependendo da ordem de integração escolhida. Vamos começar com a ordem dz,dA, onde integramos primeiro em z, depois nas outras variáveis.

Passo 4

Na ordem dz,dA, fixamos x e y e integramos em z. Como z vai de 0 até 3x + 2y + z = 1, isolando z, temos z = 1 - 3x - 2y. Então, os limites para z são de 0 a 1 - 3x - 2y.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites para x e y. A projeção do sólido no plano xy é a região onde 3x + 2y <= 1, com x >= 0 e y >= 0. Resolvendo para y, temos y <= 1 - 3x2. Então, para cada x entre 0 e 13, y vai de 0 a 1 - 3x2.

Passo 6

Agora podemos escrever a integral tripla na ordem dz,dy,dx:
integral0^13 integral0^1 - 3x2 integral0^1 - 3x - 2y dz,dy,dx

Passo 7

Vamos agora fazer na ordem dy,dA, onde integramos primeiro em y, depois nas outras variáveis. Para isso, fixamos x e z, e determinamos os limites para y. A condição 3x + 2y + z <= 1 y <= 1 - 3x - z2. Assim, y vai de 0 a 1 - 3x - z2.

Passo 8

Os limites para z dependem de x. Como z vai de 0 até 1 - 3x, para cada x entre 0 e 13, z varia de 0 a 1 - 3x.

Passo 9

Então, a integral tripla na ordem dy,dz,dx fica:
integral0^13 integral0^1 - 3x integral0^1 - 3x - z2 dy,dz,dx

Passo 10

Por último, vamos fazer na ordem dx,dA, onde integramos primeiro em x, depois nas outras variáveis. Fixando y e z, a condição 3x + 2y + z <= 1 x <= 1 - 2y - z3. Portanto, x varia de 0 a 1 - 2y - z3.

Passo 11

Os limites para z são de 0 a 1 - 2y, e para y vão de 0 a 12.

Passo 12

Assim, a integral tripla na ordem dx,dy,dz é:
integral0^12 integral0^1 - 2y integral0^1 - 2y - z3 dx,dz,dy

Resposta

As integrais triplas para calcular o volume são:
integral0^13 integral0^1 - 3x2 integral0^1 - 3x - 2y dz,dy,dx
integral0^13 integral0^1 - 3x integral0^1 - 3x - z2 dy,dz,dx
integral0^12 integral0^1 - 2y integral0^1 - 2y - z3 dx,dz,dy

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