Seja F(t)=f(e^t^2, sin t), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse F^prime(t) em termos das derivadas parciais de f. Calcule F^prime(0) supondo fy(1,0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos uma função composta $ F(t) = f\left(e{t{2}}, \sin t\right) $, onde $ f(x, y) $ é diferenciável. O objetivo é encontrar a derivada de $ F $ em relação a $ t $, ou seja, $ F’(t) $, utilizando as derivadas parciais de $ f $. Depois, vamos calcular $ F’(0) $ sabendo que $ f_y(1, 0) = 5 $.
Pra resolver isso, a gente vai precisar saber sobre a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Basicamente, quando uma função depende de outras funções, a derivada total envolve derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das funções internas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas de $ F(t) $. Temos duas partes dentro de $ f $:
  1. $ u(t) = e{t{2}} $
  2. $ v(t) = \sin t $
Então, $ F(t) = f(u(t), v(t)) $.

Passo 3

Agora, para encontrar $ F’(t) $, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra diz que:
F'(t)
Ou seja, a derivada de $ F $ é a soma das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, cada uma multiplicada pela derivada de $ u(t) $ e $ v(t) $, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. $ \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} e{t{2}} = e{t{2}} \cdot 2t $ (usando a regra da cadeia)
  2. $ \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \sin t = \cos t $
Então, substituindo na fórmula da regra da cadeia:
dudt = ddt e^t^2 = e^t^2 cdot 2t

Passo 5

Agora, queremos achar $ F’(0) $. Vamos substituir $ t = 0 $ na expressão que encontramos:
F'(0)
Simplificando:
  1. $ e^{0} = 1 $
  2. $ \sin 0 = 0 $
  3. $ \cos 0 = 1 $
  4. $ 2 \cdot 0 = 0 $
Então:
t = 0

Passo 6

Sabemos que $ f_{y}(1, 0) = 5 $. Substituindo na expressão:
fy(1, 0) = 5

Resposta

$ F’(0) = 5 $

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