Escreva, usando integrais múltiplas, a integral que permite determinar a área da região delimitada pelas funções x=y^2, x+y=6 e y=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região delimitada pelas curvas $ x = y^{2} $, $ x + y = 6 $ e $ y = 0 $. Para isso, vamos usar integrais múltiplas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular áreas e volumes de regiões mais complexas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde essas curvas se encontram para entender os limites da região que vamos integrar. Vamos encontrar os pontos de interseção das funções dadas.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto de interseção entre $ x = y^{2} $ e $ x + y = 6 $. Substituindo $ x $ na segunda equação:
x = y^2

Passo 4

Resolvendo a equação $ y^{2} + y - 6 = 0 $:
Usando a fórmula quadrática:
y^2 + y - 6 = 0
Então, temos $ y = 2 $ e $ y = -3 $. Como $ y = 0 $ é uma das restrições, consideramos apenas $ y = 2 $.

Passo 5

Com isso, sabemos que $ y $ varia de 0 a 2. Para cada valor de $ y $ nesse intervalo, $ x $ varia de $ y^{2} $ a $ 6 - y $.

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral dupla que representa a área da região:
A = integraly=0^2 integralx=y^2^6 - y dx , dy

Resposta

A área da região é dada pela integral dupla
A = integral0^2 integraly^2^6 - y dx , dy

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