A função f(x, y)=x^13 y^13 é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre a função $ f(x, y) = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} $ e queremos descobrir se ela é diferenciável no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como verificar isso usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais naquele ponto e se ela puder ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto. Ou seja, precisamos verificar se as derivadas parciais de $ f $ em $ (0,0) $ existem e se a função se comporta de maneira linear perto de $ (0,0) $.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Agora, vamos analisar essas derivadas no ponto $ (0,0) $. Observamos que, quando $ x = 0 $ ou $ y = 0 $, as expressões $ x^{-\frac{2}{3}} $ e $ y^{-\frac{2}{3}} $ não estão definidas, pois envolvem divisão por zero. Isso significa que as derivadas parciais de $ f $ não existem no ponto $ (0,0) $.

Passo 5

Como as derivadas parciais de $ f $ não existem em $ (0,0) $, já podemos concluir que a função $ f $ não é diferenciável nesse ponto. A existência das derivadas parciais é uma condição necessária para a diferenciabilidade, e aqui essa condição não é satisfeita.

Resposta

Não, a função $ f(x, y) = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} $ não é diferenciável em $ (0,0) $.

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